Fiche de Révision : Systèmes Linéaires

Introduction

Les systèmes linéaires sont omniprésents en mathématiques appliquées, en physique, en ingénierie et dans de nombreuses autres disciplines. Ils permettent de modéliser des phénomènes complexes à l’aide de relations linéaires entre variables. Comprendre ces systèmes est fondamental pour résoudre des problèmes d’équations simultanées, analyser des circuits électriques, étudier des mouvements mécaniques, ou encore optimiser des fonctions.

Cette fiche présente les concepts clés des systèmes linéaires, leur résolution, les propriétés importantes, et illustre le tout avec des exemples concrets adaptés à un niveau intermédiaire.

1. Définition et caractéristiques d’un système linéaire

Un système linéaire est un ensemble d’équations où chaque équation est une combinaison linéaire des inconnues, sans termes non linéaires (produits, puissances, fonctions transcendantes).

Forme générale

Un système linéaire à ( n ) inconnues et ( m ) équations s’écrit sous la forme :

[ [Contenu mathématique] ]

avec les coefficients ( a_{ij} ) et les termes constants ( b_i ) réels ou complexes.

Notation matricielle

On représente ce système sous forme matricielle :

[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} ]

avec

( A \in \mathbb{R}^{m \times n} ) : matrice des coefficients,
( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n ) : vecteur des inconnues,
( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m ) : vecteur des termes constants.

2. Résolution des systèmes linéaires

2.1. Solutions possibles

Un système linéaire peut avoir :

Une solution unique (système compatible déterminé)
Une infinité de solutions (système compatible indéterminé)
Aucune solution (système incompatible)

2.2. Méthodes de résolution

a) Méthode de substitution

On isole une variable et on remplace dans les autres équations. Cette méthode est simple mais fastidieuse pour grands systèmes.

b) Méthode d’élimination de Gauss (ou pivot de Gauss)

C’est la méthode la plus courante et efficace.

On réduit la matrice augmentée ( (A | \mathbf{b}) ) à une forme triangulaire supérieure (ou échelonnée).
On fait un retour en arrière (« back substitution ») pour trouver les inconnues.

[Diagramme]

Explication : La transformation matricielle permet de simplifier le système tout en préservant les solutions.

c) Méthode matricielle (inverse de matrice)

Si ( A ) est carrée et inversible, la solution est unique et donnée par :

[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} ]

3. Concepts fondamentaux associés

3.1. Rang d’une matrice

Le rang d’une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes.

Le rang permet de déterminer la nature du système.
Soit ( r = \text{rang}(A) ) et ( r' = \text{rang}(A|\mathbf{b}) ).

Système compatible si ( r = r' ).

Système incompatible si ( r \neq r' ).

Si ( r = r' = n ), il y a une solution unique.

Si ( r = r' < n ), il y a une infinité de solutions.

3.2. Noyau (ou espace nul)

Le noyau d’une matrice ( A ) est l’ensemble des vecteurs ( \mathbf{x} ) tels que ( A \mathbf{x} = \mathbf{0} ).

Il correspond aux solutions du système homogène associé.
Sa dimension est appelée la nullité.

3.3. Système homogène et non homogène

Système homogène : ( A \mathbf{x} = \mathbf{0} ).
- Toujours compatible (au moins la solution nulle).
- A une solution unique si ( \text{rang}(A) = n ).
Système non homogène : ( A \mathbf{x} = \mathbf{b} ) avec ( \mathbf{b} \neq \mathbf{0} ).

4. Exemple concret

Soit le système suivant :

[ [Contenu mathématique] ]

Étape 1 : Matrice et vecteur

[ A = [Contenu mathématique] \quad , \quad \mathbf{b} = [Contenu mathématique] ]

Étape 2 : Réduction par pivot de Gauss

On applique les opérations élémentaires pour obtenir une matrice triangulaire supérieure.

Étape 3 : Résolution

On résout par substitution à partir de la dernière équation pour trouver ( z ), puis ( y ), puis ( x ).

5. Lien avec les transformations linéaires

Un système linéaire peut être vu comme une transformation linéaire ( T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ) définie par :

[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} ]

Résoudre ( A \mathbf{x} = \mathbf{b} ) revient à chercher l'antécédent de ( \mathbf{b} ) par ( T ).
Le noyau de ( A ) correspond à l'ensemble des vecteurs envoyés sur zéro (le sous-espace des solutions homogènes).
L’image de ( A ) correspond à l’ensemble des vecteurs ( \mathbf{b} ) pour lesquels le système est compatible.