Fiche de Révision : Régime Sinusoïdal et Notation Complexe

Introduction

Le régime sinusoïdal est fondamental en électrotechnique et en physique des circuits électriques. Il correspond à l’étude des grandeurs électriques (tension, courant) qui varient sinusoïdalement dans le temps, ce qui est typique des courants alternatifs (AC). Pour analyser ces circuits efficacement, on utilise la notation complexe qui simplifie grandement les calculs notamment en régime permanent sinusoïdal.

1. Régime Sinusoïdal : Définition et Caractéristiques

Définition :
Un régime sinusoïdal est un régime dans lequel toutes les grandeurs électriques variables (tension, courant, flux) sont des fonctions sinusoïdales de temps de même pulsation.

1.1 Forme générale d'une grandeur sinusoïdale

Une grandeur électrique [Formule] peut s’exprimer sous la forme :

[Formule mathématique]

• [Formule] : amplitude maximale (valeur crête)
• [Formule] : pulsation en rad/s ([Formule] où [Formule] est la fréquence en Hz)
• [Formule] : phase initiale en radians
• [Formule] : temps en secondes

1.2 Valeurs caractéristiques

• Valeur efficace ([Formule]) : la valeur qui correspond à une énergie équivalente continue. Elle est donnée par :

[Formule mathématique]

• Phase relative : La différence de phase [Formule] entre deux grandeurs sinusoïdales indique leur décalage temporel.

Exemple :

Une tension [Formule] V est une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz avec une valeur efficace de 230 V.

2. Limites et difficulté du régime sinusoïdal en temps réel

Le traitement direct avec des fonctions trigonométriques est souvent fastidieux. Les opérations telles que la sommation, la dérivation ou l’intégration de sinusoïdes avec déphases sont lourdes.

C'est pourquoi on utilise la notation complexe (ou vecteur de Fresnel), qui transforme le problème en un calcul algébrique simple.

3. Notation Complexe (Vecteur de Fresnel)

3.1 Définition de la notation complexe

On associe à une grandeur sinusoïdale une représentation complexe qui encapsule son amplitude et sa phase :

Notation complexe correspondante :
Pour [Formule], on définit le vecteur complexe (phasor) :

[Formule mathématique]

avec [Formule] et [Formule] (valeur efficace).

La grandeur réelle s'obtient par :

[Formule mathématique]

3.2 Utilité de la notation complexe

• Addition et soustraction deviennent des opérations vectorielles simples
• Dérivées et intégrales correspondent à des multiplications ou divisions par [Formule]
• Simplification des résolutions d'équations différentielles sinusoïdales

4. Relations fondamentales en notation complexe

4.1 Impédance complexe

On définit pour chaque élément une impédance complexe [Formule] :

[Formule mathématique]

• Résistance : [Formule]
• Inductance : [Formule]
• Capacité : [Formule]

L'impédance représente la relation phase et amplitude entre tension et courant dans le domaine fréquentiel.

4.2 Représentation vectorielle (phasors)

[Diagramme]

Explication :
L’impédance [Formule] correspond au rapport entre la tension et le courant en notation complexe, caractérisant à la fois l’amplitude ([Formule]) et la phase ([Formule]) entre eux.

5. Résolution des circuits en régime sinusoïdal

5.1 Méthode générale

1. Transformer toutes les grandeurs exprimées en fonctions sinusoïdales en leurs phasors complexes.
2. Calculer les impédances complexes des éléments passifs.
3. Appliquer les lois électriques (loi d’Ohm, lois de Kirchhoff) en domaine complexe.
4. Résoudre le système d’équations algébriques complexe.
5. Retransformer les résultats dans le domaine temporel si nécessaire.

5.2 Exemple concret

Considérons la branche série R-L suivante alimentée par une tension sinusoïdale :

[Formule mathématique]

avec [Formule], [Formule], [Formule].

• Pulsation : [Formule]
• Impédance totale :

[Formule mathématique]

• Module de [Formule] :

[Formule mathématique]

• Phase de [Formule] :

[Formule mathématique]

• Courant complexe :

[Formule mathématique]

• Le courant en temps réel est :

[Formule mathématique]

6. Synthèse : Liens entre régime sinusoïdal et notation complexe

[Diagramme]

7. Points essentiels à retenir

• Le régime sinusoïdal étudie des grandeurs périodiques sous la forme [Formule].
• La valeur efficace est essentielle pour quantifier l'énergie transmise par une grandeur sinusoïdale.
• La notation complexe (phasors) transpose le problème temporel en un problème algébrique complexe, facilitant le calcul.
• L’impédance [Formule] est une grandeur complexe regroupant résistance et réactance permettant d’étudier le comportement des composants électriques en AC.
• Les lois d’Ohm et de Kirchhoff s’appliquent directement en notation complexe, simplifiant considérablement le traitement des circuits sinusoïdaux.

Conclusion

La maîtrise du régime sinusoïdal et de la notation complexe est indispensable pour comprendre et analyser les circuits électriques en courant alternatif. Elle permet de passer d’une analyse temporelle lourde à une analyse fréquentielle simple et élégante, facilitant la résolution de problèmes souvent complexes.

N’hésitez pas à revoir ces notions en appliquant la méthode sur des exemples concrets pour acquérir fluidité et confiance dans l’utilisation des phasors et des impédances complexes !