Fiche de Révision : Le Système Binaire (Base 2)

Introduction au système binaire

Le système binaire est un système de numération utilisant uniquement deux symboles : 0 et 1. C’est la base fondamentale de l’informatique et des systèmes numériques, car les ordinateurs utilisent des circuits électriques qui ont deux états possibles : allumé (1) ou éteint (0).

Pourquoi le binaire ?

• Facilité de représentation électronique (deux états clairs).
• Réduction des erreurs dans la transmission de données.
• Base universelle pour coder toutes les données dans les ordinateurs.

1. Notion de base : Le système de numération en base 2

Dans un système de numération, chaque position d’un chiffre a une valeur en fonction de la base. En base 2, chaque position représente une puissance de 2.

Exemple :

Le nombre binaire [Formule] se décompose ainsi :
[Formule mathématique] [Formule mathématique]

Remarque :

• Le suffixe [Formule] indique que le nombre est en base 2.
• Le suffixe [Formule] indique que le nombre est en base 10 (décimal).

2. Conversion entre binaire et décimal

2.1 Conversion binaire → décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque bit par la puissance de 2 correspondante et on fait la somme.

Exemple : [Formule]
[Formule mathématique]

2.2 Conversion décimal → binaire

On divise le nombre décimal par 2 en notant les restes successifs, puis on lit les restes à l’envers.

Exemple : Convertir [Formule] en binaire

Lecture des restes du bas vers le haut : 10011

Donc, [Formule].

3. Opérations en binaire

Les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division) peuvent être réalisées en binaire.

3.1 Addition binaire

Exemple : Addition de [Formule]

   1 0 1 1
+  1 1 0 1
-----------
1 1 0 0 0

Calcul détaillé (de droite à gauche) :

• [Formule] → résultat 0, report 1
• [Formule] → résultat 1, report 1
• [Formule] → résultat 0, report 1
• [Formule] → résultat 1, report 1
• Le report final 1 est ajouté au début.

Résultat final : [Formule] (qui correspond à [Formule]).

3.2 Soustraction binaire

Soustraction avec emprunt, similaire à la base décimale, mais en base 2.

3.3 Multiplication binaire

Similaire à la multiplication décimale, basé sur des décalages et additions.

4. Représentation des nombres en binaire

4.1 Nombres entiers positifs

Simple conversion décimal → binaire.

4.2 Nombres négatifs : complément à deux

Pour coder les nombres négatifs en binaire, on utilise la méthode du complément à deux :

• On écrit le nombre en binaire.
• On inverse tous les bits (complément à un).
• On ajoute 1 au résultat.

Exemple : Représenter [Formule] en binaire sur 4 bits

1. [Formule]
2. Complément à un : [Formule]
3. Ajouter 1 : [Formule]

Donc, [Formule] s’écrit [Formule] en complément à deux sur 4 bits.

5. Applications du binaire

5.1 Informatique

• Stockage des données (texte, images, sons).
• Programmation (langage machine, assembleur).
• Transmission d’informations.

5.2 Électronique

• Circuits logiques (portes AND, OR, NOT).
• Microprocesseurs et mémoires.

6. Résumé et concepts clés

[Diagramme]

Citation importante

« Le système binaire est à l’informatique ce que l’alphabet est à la lecture : la base essentielle sans laquelle tout le reste n’a pas de sens. »
— Anonyme

Conclusion

Le binaire est un système de numération simple mais puissant, fondamental pour comprendre le fonctionnement des ordinateurs et des technologies numériques. Maîtriser la conversion, l’addition, et la représentation des nombres en binaire est une clé pour progresser en informatique et en électronique.

Exercices simples

1. Convertir [Formule] en binaire.
2. Convertir [Formule] en décimal.
3. Additionner en binaire : [Formule].
4. Trouver le complément à deux de [Formule] sur 4 bits.

Cette fiche vous aidera à comprendre les bases du système binaire et à vous entraîner pour les applications informatiques.