Fiche de Révision : Le Système Binaire

Introduction au Système Binaire

Le système binaire est un système de numération qui utilise uniquement deux symboles : 0 et 1. C'est la base du fonctionnement des ordinateurs et des systèmes numériques.

« Le binaire est le langage fondamental de l'informatique. »

Pourquoi le binaire ?

• Les ordinateurs utilisent des circuits électroniques qui ont deux états possibles : ON (1) et OFF (0).
• Le binaire simplifie la conception des circuits et la manipulation des données.

1. Comprendre le Système Binaire

1.1. Base du système binaire

• Le binaire est un système de numération en base 2.
• Chaque chiffre binaire est appelé un bit (contraction de binary digit).

1.2. Position et valeur des bits

Chaque bit dans un nombre binaire a une valeur qui dépend de sa position, de droite à gauche, en puissances de 2.

Par exemple, dans le nombre binaire [Formule] :

Calcul de la valeur décimale :

[Formule mathématique]

2. Conversion entre Binaire et Décimal

2.1. Binaire vers Décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les puissances de 2 correspondant aux bits à 1.

Exemple :

Convertir [Formule] en décimal.

[Formule mathématique]

2.2. Décimal vers Binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on divise le nombre par 2 successivement et on note les restes.

Exemple :

Convertir 13 en binaire :

On lit les restes de bas en haut : [Formule]

3. Opérations en Binaire

3.1. Addition

Les règles sont simples :

Exemple :

Additionner [Formule] :

Résultat : [Formule] (en décimal : 24)

3.2. Soustraction

On soustrait bit à bit en empruntant si nécessaire.

3.3. Multiplication

La multiplication binaire est similaire à la multiplication décimale, mais on multiplie uniquement par 0 ou 1.

4. Applications du Binaire

• Informatique : stockage, calculs, programmation.
• Télécommunications : codage et transmission de données.
• Électronique numérique : circuits logiques et microprocesseurs.

5. Représentation des Données en Binaire

5.1. Bits et octets

• 1 bit = 1 chiffre binaire (0 ou 1)
• 1 octet = 8 bits

5.2. Codage des nombres négatifs : complément à deux

Pour représenter les nombres négatifs, on utilise souvent la méthode du complément à deux :

• Inverser tous les bits
• Ajouter 1 au résultat

Exemple : Représenter [Formule] sur 4 bits.

• 3 en binaire : [Formule]
• Inversion : [Formule]
• Ajouter 1 : [Formule]

Donc, [Formule] est représenté par [Formule] en complément à deux.

6. Diagramme : Relations entre Concepts du Binaire

[Diagramme]

7. Résumé

• Le système binaire utilise deux chiffres : 0 et 1.
• Chaque bit représente une puissance de 2 selon sa position.
• Conversion facile entre binaire et décimal via puissances de 2 ou divisions successives.
• Opérations binaires suivent des règles simples, similaires au système décimal.
• Utilisé partout en informatique et électronique.
• Le complément à deux permet de coder les nombres négatifs.

Exercices conseillés

1. Convertir les nombres décimaux suivants en binaire : 7, 18, 45.
2. Convertir les nombres binaires suivants en décimal : 1010, 11111, 100100.
3. Effectuer l'addition binaire : [Formule].
4. Représenter [Formule] en binaire sur 8 bits en complément à deux.

Cette fiche vous permet de comprendre et manipuler le système binaire, fondement de l'informatique et de nombreux systèmes numériques.