Fiche de Révision : Différence entre Nombre Décimal et Nombre Rationnel

Introduction

Les concepts de nombre décimal et de nombre rationnel sont fondamentaux en mathématiques, notamment en arithmétique et en analyse. Même s'ils semblent proches, ils désignent des ensembles de nombres différents avec des propriétés propres. Cette fiche vise à clarifier leurs définitions, leurs caractéristiques, leurs relations et leurs différences, à travers une approche structurée et des exemples concrets.

1. Définitions de base

1.1 Nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer sous la forme d'un quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul.

[ \text{Un nombre } r \text{ est rationnel s'il existe } p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0, \text{ tels que } r = \frac{p}{q}. ]

• [Formule] est appelé le numérateur
• [Formule] est appelé le dénominateur

Exemples :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule] (tout entier est rationnel)
• [Formule]

1.2 Nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un nombre fini ou infini périodique en base 10, avec un développement décimal.

Plus précisément, un nombre décimal est un nombre rationnel dont le développement décimal est :

• soit fini (exemple : 2,75)
• soit infini périodique (exemple : 0,3333... = 0,\overline{3})

L'ensemble des nombres décimaux est souvent défini comme l'ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur, une fois simplifié, est de la forme [Formule] (avec [Formule]).

Exemples :

• [Formule] (dénominateur [Formule])
• [Formule]
• [Formule] (décimal périodique)

2. Relations entre nombres décimaux et rationnels

2.1 Ensemble des nombres rationnels

L'ensemble des nombres rationnels [Formule] est l'ensemble des fractions [Formule], où [Formule] et [Formule] sont entiers, [Formule]. Cet ensemble est dense dans [Formule] (l'ensemble des réels).

2.2 Ensemble des nombres décimaux

L'ensemble des nombres décimaux est un sous-ensemble de [Formule], mais il est important de noter que tous les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux finis. En revanche, tous les nombres décimaux sont des rationnels.

[Diagramme]

3. Caractérisation des nombres décimaux

3.1 Nombres décimaux finis

Un nombre rationnel est un nombre décimal fini si, dans sa forme simplifiée (i.e. fraction irréductible), le dénominateur ne contient que les facteurs premiers 2 et/ou 5.

Exemple :

• [Formule] car [Formule]
• [Formule] car [Formule]

3.2 Nombres décimaux périodiques

Si le dénominateur contient un facteur premier autre que 2 ou 5, la décimale est infinie périodique.

Exemple :

• [Formule]
• [Formule]

4. Différences essentielles entre nombre décimal et nombre rationnel

5. Représentation décimale des rationnels

5.1 Développement décimal

• Tout nombre rationnel possède un développement décimal périodique : soit fini, soit infini périodique.
• Cette propriété est une caractéristique clé de [Formule].

5.2 Exemple de conversion rationnel → décimal

• [Formule] (fini)
• [Formule] (fini)
• [Formule] (périodique)
• [Formule]

6. Importance de la distinction en mathématiques et applications

6.1 En théorie des nombres

• La distinction souligne la structure interne des rationnels.
• La nature du dénominateur influence le type de développement décimal.

6.2 En informatique

• Nombres décimaux finis sont ceux que l'on peut représenter exactement en base 10.
• Les nombres rationnels périodiques peuvent nécessiter une approximation en informatique.

6.3 En calcul et approximation

• La connaissance de la périodicité permet de mieux comprendre les erreurs d’approximation.
• La distinction est essentielle pour les opérations numériques précises.

7. Résumé visuel

[Diagramme]

• Tous les nombres décimaux sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas des nombres décimaux finis.
• Les nombres rationnels non-décimaux ont un développement décimal infini non fini mais périodique.

8. Exercices d’application

1. Donner la forme décimale de [Formule] et préciser si elle est finie ou périodique.
2. Donner la forme décimale de [Formule] et identifier la période.
3. Est-ce que [Formule] est un nombre décimal fini ? Justifier.
4. Trouver un nombre rationnel dont le développement décimal est périodique avec une période de longueur 1.
5. Expliquer pourquoi tous les entiers sont des nombres rationnels et des nombres décimaux.

9. Citation importante

« Tout nombre rationnel a un développement décimal périodique, ce qui inclut les développements finis comme cas particuliers ; les nombres décimaux sont précisément ceux dont le développement est fini ou périodique. »

Conclusion

La différence principale entre nombre décimal et nombre rationnel réside dans la nature de leur écriture décimale et la forme de leur dénominateur. Les nombres décimaux forment un sous-ensemble des rationnels, caractérisés par des dénominateurs constitués uniquement des facteurs premiers 2 et 5 lorsqu'ils sont finis, ou par un développement décimal périodique. Comprendre cette différence est fondamental pour aborder la théorie des nombres, la représentation des nombres en informatique et les calculs numériques précis.

Fin de la fiche