Fiche de révision : Fonction usuelle

Introduction générale

La notion de fonction usuelle est fondamentale en mathématiques, notamment en analyse. Ces fonctions, fréquemment rencontrées, possèdent des propriétés spécifiques qui facilitent leur étude et leur utilisation dans divers domaines. Leur compréhension repose sur une solide maîtrise des propriétés de l'ensemble des réels \mathbb{R}, des intervalles et des inégalités. Cette fiche présente les bases nécessaires avant d’aborder les fonctions usuelles, en illustrant particulièrement la fonction valeur absolue, un exemple clé.

1. Propriétés de l’ensemble \mathbb{R} et des intervalles

1.1 Relation d’ordre sur \mathbb{R}

L’ensemble \mathbb{R} est muni d’une relation d’ordre \leqslant qui est :

• Réflexive : a \leqslant a pour tout a \in \mathbb{R}
• Antisymétrique : si a \leqslant b et b \leqslant a, alors a = b
• Transitive : si a \leqslant b et b \leqslant c, alors a \leqslant c

Cette relation est un ordre total compatible avec les opérations d’addition et de multiplication sous certaines conditions. Par exemple, pour tous a, b, c \in \mathbb{R},

(a \leqslant b) \Longleftrightarrow (a + c \leqslant b + c)

Cette compatibilité est essentielle pour manipuler les inégalités lors de l’étude des fonctions usuelles @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf.

1.2 Intervalles de \mathbb{R}

Un intervalle est un sous-ensemble de \mathbb{R} sans "trou" : pour tout a, b dans un intervalle A, tous les x tels que a \leqslant x \leqslant b appartiennent aussi à A.

Les intervalles peuvent être :

• Bornés ou non bornés
• Ouverts (a,b), fermés [a,b], ou semi-ouverts [a,b), (a,b]
• Par exemple : [a, +\infty), (-\infty, b]

Ces notions sont fondamentales pour définir le domaine des fonctions usuelles @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf.

[Diagramme]

2. Fonctions usuelles : introduction

Les fonctions usuelles regroupent plusieurs familles importantes :

• Fonctions exponentielles et logarithmes
• Fonctions puissances entières et réelles
• Fonctions trigonométriques et hyperboliques

Elles sont définies sur des intervalles spécifiques et possèdent des propriétés de continuité, dérivabilité et limites bien étudiées. Leur connaissance est indispensable pour aborder des problèmes plus complexes en analyse.

3. La fonction valeur absolue

3.1 Définition et expressions équivalentes

La fonction valeur absolue, notée |x| , est une fonction usuelle fondamentale définie pour tout x \in \mathbb{R} par :

|x| = [Contenu mathématique]

Elle peut aussi s’exprimer de manière équivalente par :

|x| = \max(-x, x) = \sqrt{x^2}

Cette dernière expression met en évidence le lien entre la valeur absolue, la racine carrée et le carré du nombre x @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf.

3.2 Propriétés algébriques

La fonction valeur absolue est continue sur \mathbb{R} et dérivable partout sauf en 0. Elle satisfait des propriétés algébriques importantes, notamment :

• Pour tout x, y \in \mathbb{R},

|xy| = |x||y|

• Si y \neq 0,

\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}

• Pour un produit de plusieurs réels x_1, x_2, \ldots, x_n,

\left|\prod_{k=1}^n x_k\right| = \prod_{k=1}^n |x_k|

Ces propriétés facilitent le calcul et l’analyse des expressions impliquant des valeurs absolues.

3.3 Valeur absolue et distance sur \mathbb{R}

La valeur absolue permet de définir une distance usuelle sur \mathbb{R} :

d : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+, \quad d(x,y) = |x - y|

Cette distance a une interprétation géométrique claire : les réels x tels que |x - a| \leqslant r forment l’intervalle fermé [a-r, a+r], tandis que ceux vérifiant |x - a| \geqslant r appartiennent à l’union des intervalles ]-\infty, a-r] \cup [a+r, +\infty[ .

3.4 Inégalités triangulaires

Un aspect fondamental de la valeur absolue est lié aux inégalités triangulaires, qui sont des outils essentiels en analyse et en géométrie.

• Première inégalité triangulaire :

\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad |x + y| \leqslant |x| + |y|

Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont de même signe.

• Seconde inégalité triangulaire :

\forall x,y \in \mathbb{R}, \quad ||x| - |y|| \leqslant |x - y|

• Généralisation pour n \geq 1 :

\left|\sum_{k=1}^n x_k\right| \leqslant \sum_{k=1}^n |x_k|

Ces résultats permettent de contrôler la valeur absolue d’une somme par la somme des valeurs absolues, ce qui est crucial dans l’étude des séries, des limites et des distances @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf.

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Conclusion : points clés à retenir

• La compréhension des fonctions usuelles s’appuie sur les propriétés fondamentales de \mathbb{R}, notamment la relation d’ordre \leqslant et les intervalles.
• La fonction valeur absolue, un exemple central de fonction usuelle, est définie par une formule simple mais possède des propriétés algébriques et analytiques riches.
• La valeur absolue permet de définir la distance usuelle sur \mathbb{R} et est au cœur des inégalités triangulaires, indispensables en analyse.
• La maîtrise de ces notions est essentielle pour étudier rigoureusement les fonctions usuelles telles que le logarithme, l’exponentielle, les puissances, ainsi que les fonctions trigonométriques et hyperboliques.

Cette base solide facilite l’approche des problèmes plus complexes en analyse et en géométrie @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf @docchap_07_fonctions_usuelles_cours.pdf.