Fiche de Révision : La démonstration en mathématiques

Introduction

La démonstration est au cœur des mathématiques. Elle permet de justifier rigoureusement une proposition ou un théorème, assurant que les résultats obtenus ne sont pas le fruit du hasard ou d’une intuition erronée. Contrairement à d’autres sciences où l’expérimentation peut valider une hypothèse, en mathématiques, une proposition n’est acceptée que si elle est démontrée de manière rigoureuse.

Citation :
« En mathématiques, démontrer, c’est prouver avec certitude qu’une affirmation est vraie dans tous les cas possibles. »

1. Qu’est-ce qu’une démonstration ?

Définition

Une démonstration est un raisonnement logique construit à partir d’axiomes, définitions, hypothèses, et règles d’inférence, qui conduit à la vérité d’une proposition mathématique.

Objectifs

• Garantir la vérité universelle d’une assertion.
• Éviter les contradictions.
• Structurer la pensée mathématique.

Différence entre démonstration et preuve empirique

2. Structure d’une démonstration

Une démonstration repose sur plusieurs éléments clés :

• Hypothèses : Ce que l’on suppose vrai au départ.
• Thèse : Ce que l’on cherche à démontrer.
• Arguments : Raisonnements, calculs, ou constructions qui mènent à la conclusion.
• Conclusion : Résultat final prouvant la thèse.

3. Types de démonstrations

3.1. La démonstration directe

Elle consiste à partir des hypothèses et à appliquer des règles logiques pour arriver directement à la conclusion.

Exemple simple :
Démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.

• Hypothèses : [Formule], [Formule] avec [Formule]
• Preuve :
  [Formule mathématique]
  Or, [Formule] est un entier, donc [Formule] est pair.

3.2. La démonstration par contraposée

Pour démontrer une implication [Formule], on montre la contraposée [Formule].

Exemple :
Montrer que si [Formule] est pair, alors [Formule] est pair.

• Contraposée : Si [Formule] est impair, alors [Formule] est impair.
• Preuve :
  Si [Formule], alors
  [Formule mathématique]
  Ce qui est impair.

3.3. La démonstration par l’absurde (réduction à l’absurde)

On suppose que la proposition est fausse et on montre que cette hypothèse conduit à une contradiction.

Exemple :
Il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est [Formule].

• Supposons qu’il existe [Formule] irréductible tel que
  [Formule mathématique]
• Cela implique [Formule] est pair, donc [Formule] est pair.
• Écrivons [Formule], alors
  [Formule mathématique]
  Donc [Formule] est pair, ce qui contredit que [Formule] est irréductible.

3.4. La démonstration par récurrence

Méthode utilisée pour prouver une propriété [Formule] vraie pour tous les entiers [Formule].

• Initialisation : vérifier [Formule] vraie.
• Hérédité : montrer que [Formule].
• Conclusion : [Formule] est vraie pour tout [Formule].

Exemple :
Démontrer que la somme des [Formule] premiers entiers est
[Formule mathématique]

• Initialisation : [Formule],
  [Formule mathématique] vrai.
• Hérédité : Supposons
  [Formule mathématique]
  Alors
  [Formule mathématique]
  Propriété vraie pour [Formule].

3.5. La démonstration par analyse-synthèse

• Analyse : partir de la conclusion pour trouver des conditions nécessaires.
• Synthèse : partir des conditions pour retrouver la conclusion.

4. Règles et outils logiques fondamentaux

4.1. Implication et équivalence

• [Formule] : Si [Formule] est vrai, alors [Formule] est vrai.
• [Formule] : [Formule] est vrai si et seulement si [Formule] est vrai.

4.2. Négation

• [Formule]
• [Formule]

4.3. Quantificateurs

• [Formule] : pour tout [Formule], [Formule] est vrai.
• [Formule] : il existe au moins un [Formule] tel que [Formule] est vrai.

5. Exemples concrets de démonstrations célèbres

5.1. L’infinité des nombres premiers (Euclide)

Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers [Formule]. Considérons
[Formule mathématique]
Ce nombre [Formule] n’est divisible par aucun [Formule], ce qui contredit la finitude des nombres premiers.

5.2. La somme des angles d’un triangle (géométrie euclidienne)

La somme des angles d’un triangle est égale à [Formule].

• Preuve : tracer une parallèle au troisième côté passant par un sommet, utiliser les angles alternes-internes.

6. Bonnes pratiques pour une démonstration réussie

• Clarté : exprimer clairement chaque étape.
• Justification : appuyer chaque affirmation sur une règle, un théorème ou une définition.
• Précision du langage : éviter les ambiguïtés.
• Structure : introduction des hypothèses, développement logique, conclusion.
• Vérification : relire pour éviter les erreurs.

7. Exemple complet : démonstration par récurrence

Problème : Montrer que pour tout entier [Formule],
[Formule mathématique]

Solution :

• Initialisation ([Formule]) :
  [Formule mathématique]
  et
  [Formule mathématique]
  vrai.

• Hérédité : Supposons la propriété vraie pour [Formule], c’est-à-dire
  [Formule mathématique]

  Montrons qu’elle est vraie pour [Formule] :
  [Formule mathématique]

  Calculons :
  [ [Contenu mathématique] ]

• Conclusion : la propriété est vraie pour [Formule].

Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout [Formule].

8. Représentation schématique du processus de démonstration

[Diagramme]

Conclusion

La démonstration est un pilier fondamental des mathématiques. Elle garantit la rigueur et la fiabilité des résultats, permettant d’établir des vérités universelles. Maîtriser les différents types de démonstrations et savoir les appliquer est essentiel pour progresser en mathématiques.

Résumé des points clés

• La démonstration vise à prouver la vérité d’une proposition de manière rigoureuse.
• Plusieurs types : directe, contraposée, par l’absurde, par récurrence.
• Importance de la logique formelle et des règles d’inférence.
• Pratique et rigueur indispensables pour une démonstration correcte.
• La démonstration assure la solidité des mathématiques comme discipline.

Bonne révision !