Fiche de Révision : Théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats fondamentaux de la géométrie euclidienne. Il établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Ce théorème est à la base de nombreux domaines en mathématiques et en sciences appliquées, notamment en trigonométrie, en physique, en ingénierie et en informatique.

1. Énoncé du Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui possède un angle droit (90°).

Énoncé :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Formellement, si [Formule] est un triangle rectangle en [Formule], avec :

• [Formule] l’hypoténuse,
• [Formule] et [Formule] les deux autres côtés,

alors :

[Formule mathématique]

2. Définition des termes

• Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit, c’est le côté le plus long du triangle rectangle.
• Côtés adjacents à l’angle droit : les deux autres côtés qui forment l’angle droit.

3. Preuves du Théorème

Le théorème de Pythagore possède de nombreuses démonstrations. En voici deux classiques :

3.1. Preuve par découpage (géométrique)

On construit un carré de côté [Formule], où [Formule] et [Formule] sont les longueurs des deux côtés adjacents de l'angle droit. En disposant quatre triangles rectangles dans ce carré, on peut exprimer l’aire en fonction de [Formule], l’hypoténuse, et montrer que :

[Formule mathématique]

Ce qui revient à :

[Formule mathématique]

3.2. Preuve par similitude de triangles

Dans un triangle rectangle [Formule] rectangle en [Formule] :

• Les triangles [Formule], [Formule], et [Formule] (où [Formule] est la projection de [Formule] sur [Formule]) sont similaires.
• En utilisant les rapports de similitude, on retrouve la relation [Formule].

4. Applications du Théorème de Pythagore

4.1. Calcul de distances

• Calculer la distance entre deux points dans un plan cartésien.
  Par exemple, les points [Formule] et [Formule] :
  [Formule mathématique]
  C’est une application directe du théorème.

4.2. Vérification qu’un triangle est rectangle

On peut vérifier si un triangle avec côtés [Formule], [Formule], [Formule] est rectangle en testant si :

[Formule mathématique]

où [Formule] est le plus grand côté.

4.3. En trigonométrie

Le théorème permet de relier les longueurs des côtés pour calculer les sinus et cosinus dans un triangle rectangle.

5. Exemples Concrets

Exemple 1 : Calcul de l’hypoténuse

Un triangle rectangle a des côtés adjacents de 3 cm et 4 cm. Calculer l’hypoténuse.

[Formule mathématique]

Exemple 2 : Vérification d’un triangle rectangle

Un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?

Calculons :

• [Formule]
• [Formule]

Puisque [Formule], le triangle est bien rectangle.

6. Généralisation et extensions

6.1. Dans l’espace (3D)

Dans un espace à trois dimensions, le théorème s’étend à la distance entre deux points :

[Formule mathématique]

6.2. Théorème de Pythagore généralisé (à d’autres formes géométriques)

On peut appliquer le principe à d’autres figures dont les aires sont proportionnelles au carré des côtés.

7. Histoire et origine

• Attribué traditionnellement au mathématicien grec Pythagore (vers 570-495 av. J.-C.).
• Le théorème était connu avant lui, notamment chez les Babyloniens et les Égyptiens.
• Pythagore en donna une preuve rigoureuse dans le cadre de la géométrie grecque.

8. Résumé sous forme de mindmap

[Diagramme]

9. Exercices pour pratiquer

1. Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ?
2. Trouvez la longueur de la diagonale d’un rectangle de dimensions 8 cm sur 15 cm.
3. Dans un plan, calculez la distance entre les points [Formule] et [Formule].

10. Citation importante

« Le théorème de Pythagore est la clef qui ouvre la porte de la géométrie euclidienne. »
— Anonyme

Conclusion

Le théorème de Pythagore est un outil fondamental en mathématiques qui permet de relier les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Sa simplicité apparente cache une puissance étendue, avec des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques. Maîtriser ce théorème est indispensable pour progresser dans l’étude de la géométrie, de la trigonométrie, et de l’analyse spatiale.