Vecteurs, droites et plans de l'espace - Partie 2 : Combinaisons linéaires, droites et plans

Combinaisons linéaires de vecteurs

Définition

Un vecteur [Formule] est dit combinaison linéaire des vecteurs [Formule], [Formule] et [Formule] s'il existe trois réels [Formule], [Formule], [Formule] tels que :

[Formule mathématique]

Cette notion permet d'exprimer un vecteur comme une somme pondérée d'autres vecteurs.

Exemple

Dans la figure ci-dessous, on a :

[Formule mathématique]

Ainsi, le vecteur [Formule] est une combinaison linéaire des vecteurs [Formule], [Formule] et [Formule].

Droites et plans de l'espace

Rappel général

Dans chaque plan de l'espace, toutes les règles de la géométrie plane s'appliquent. Cela signifie que les propriétés et notions vues en géométrie plane sont valables dans n'importe quel plan considéré dans l'espace à trois dimensions.

Caractérisation vectorielle d'une droite

Définition du vecteur directeur

On appelle vecteur directeur d'une droite [Formule] tout vecteur non nul dont la direction est la même que celle de [Formule].

Propriété fondamentale

Soient [Formule] et [Formule] deux points distincts de l'espace. La droite [Formule] est l'ensemble des points [Formule] de l'espace tels que les vecteurs [Formule] et [Formule] sont colinéaires.

Autrement dit, la droite [Formule] peut être décrite par :

[Formule mathématique]

où [Formule] est un réel quelconque.

Cette caractérisation vectorielle est essentielle pour exprimer analytiquement une droite dans l'espace.

Caractérisation vectorielle d'un plan

Propriété

Soient [Formule] et [Formule] deux vecteurs non colinéaires et [Formule] un point de l'espace.

L'ensemble des points [Formule] tels que :

[Formule mathématique]

avec [Formule] et [Formule] réels quelconques, forme un plan passant par le point [Formule].

Cette propriété donne une description vectorielle d'un plan en fonction d'un point d'origine et de deux vecteurs directeurs qui ne sont pas colinéaires.

Vecteurs coplanaires

Définition

Des vecteurs sont dits coplanaires si, et seulement si, leurs représentants de même origine ont leurs extrémités dans un même plan passant par ce point d'origine [Formule].

Propriété caractéristique

Trois vecteurs [Formule], [Formule] et [Formule] sont coplanaires si et seulement s'il existe des réels [Formule], [Formule] et [Formule], non tous nuls, tels que :

[Formule mathématique]

En pratique, cela revient à montrer qu'il existe deux réels [Formule] et [Formule] tels que :

[Formule mathématique]

Autrement dit, un vecteur est une combinaison linéaire des deux autres.

Remarques importantes

• Une droite de l'espace peut être définie soit par deux points distincts, soit par un point et un vecteur directeur non nul.

• Un plan dans l'espace est défini soit par trois points non alignés, soit par un point et deux vecteurs non colinéaires.

• Deux droites situées dans un même plan sont dites coplanaires.

Synthèse des notions clés

[Diagramme]

Cette fiche récapitule les notions fondamentales sur les combinaisons linéaires de vecteurs, ainsi que les caractérisations vectorielles des droites et plans dans l'espace, en insistant sur l'importance des vecteurs directeurs et la coplanarité. Ces outils sont indispensables pour étudier la géométrie dans l'espace et résoudre des problèmes impliquant des positions relatives de points, droites et plans.