Fiche de Révision : Principes Fondamentaux de l'Intégration

Introduction

L'intégration est un concept central en mathématiques, particulièrement en analyse, qui permet de calculer des zones, des volumes, ou de résoudre des problèmes liés aux quantités variables. Elle est souvent présentée comme l'opération inverse de la dérivation. Comprendre ses principes fondamentaux est essentiel pour manipuler correctement les fonctions et résoudre des problèmes variés, tant en mathématiques qu'en physique ou en ingénierie.

1. Définitions Clés

Intégrale : C’est une opération mathématique permettant de calculer l’aire algébrique sous la courbe d’une fonction continue sur un intervalle donné.

Fonction intégrable : Une fonction est dite intégrable sur un intervalle si son intégrale (au sens de Riemann ou Lebesgue) est définie et finie.

Primitive d’une fonction ( f ) : Toute fonction ( F ) telle que ( F'(x) = f(x) ).

2. Lien entre Dérivation et Intégration

L’intégration peut être considérée comme l’opération inverse de la dérivation. Cette idée est formalisée dans le Théorème fondamental de l’analyse.

Théorème fondamental de l'analyse

Si ( f ) est une fonction continue sur un intervalle ( [a, b] ), alors la fonction ( F ) définie par

[ F(x) = \int_a^x f(t) , dt ]

est une primitive de ( f ). Donc,

[ F'(x) = f(x) ]

3. Intégrale définie et intégrale indéfinie

• Intégrale définie : Calcul de l’aire sous la courbe de ( f ) entre deux bornes ( a ) et ( b ):

[ \int_a^b f(x) , dx ]

Elle donne un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul.

• Intégrale indéfinie : Correspond à la famille des primitives de ( f ), notée

[ \int f(x) , dx = F(x) + C ]

où ( C ) est une constante d’intégration.

4. Propriétés fondamentales de l'intégrale

4.1 Linéarité

Pour toutes fonctions ( f ) et ( g ) intégrables sur ([a,b]) et tous réels ( \alpha ), ( \beta ):

[ \int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) , dx = \alpha \int_a^b f(x) , dx + \beta \int_a^b g(x) , dx ]

4.2 Additivité des intervalles

Si ( a < c < b ),

[ \int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx ]

4.3 Sens de l'intégration

Inversion des bornes change le signe :

[ \int_a^b f(x) , dx = -\int_b^a f(x) , dx ]

5. Calculs d’intégrales de base

Quelques primitives habituelles (indéfini):

6. Méthodes de calcul d'intégrales

6.1 Changement de variable

Cette méthode permet de transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple. Si ( u = g(x) ) est une bijection différentiable, alors

[ \int f(x) , dx = \int f(g^{-1}(u)) , (g^{-1})'(u) , du ]

Plus simplement, souvent exprimé comme :

[ \int f(x) , dx = \int f(g(t)) g'(t) dt ]

Exemple

Calculer :

[ I = \int 2x \cos(x^2) , dx ]

Poser ( u = x^2 \Rightarrow du = 2x , dx ), donc

[ I = \int \cos(u) , du = \sin u + C = \sin(x^2) + C ]

6.2 Intégration par parties

Issue de la formule de dérivation d’un produit, si ( u = u(x) ) et ( v = v(x) ) sont des fonctions dérivables :

[ \int u(x) v'(x) , dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) , dx ]

Exemple

Calculer :

[ \int x e^x , dx ]

Poser ( u = x \Rightarrow u' = 1 ), ( dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x ),

donc

[ \int x e^x dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C ]

7. Interprétations géométriques

L'intégrale définie ( \int_a^b f(x) dx ) correspond à l'aire algébrique entre la courbe ( y = f(x) ) et l'axe des abscisses entre ( a ) et ( b ).

• L’aire est positive si la courbe est au-dessus de l’axe.
• Elle est négative si la courbe est en dessous.

[Diagramme]

Ainsi, l’intégrale peut être vue comme une somme infinie de petites aires rectangulaires sous la courbe.

8. Applications pratiques de l'intégration

• Calcul d’aires : Calculer l’aire d’une surface plane délimitée par une courbe.
• Calcul de volumes : Par rotation de la courbe autour d’un axe.
• Physique : Travail, centre de gravité, quantité de mouvement.
• Probabilités : Calcul de probabilités continues avec la fonction de densité.

9. Synthèse des points essentiels

10. Diagramme de flux : Processus de calcul d'une intégrale

[Diagramme]

Conclusion

La maîtrise des principes fondamentaux de l'intégration repose sur la compréhension de ses définitions, propriétés et méthodes de calcul. L'intégration est incontournable pour étudier des quantités accumulées, des aires ou des volumes, en lien étroit avec la dérivation. Son apprentissage progressif facilite la résolution de problèmes analytiques complexes en mathématiques et sciences appliquées.

Gardez cette fiche pour réviser efficacement et n'hésitez pas à pratiquer avec des intégrales variées pour bien ancrer ces notions clés !