Fiche de Révision : Arithmétique dans (\mathbb{Z}) - Concepts Clés

Introduction

L'arithmétique dans (\mathbb{Z}) (l'ensemble des entiers relatifs) est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les propriétés des entiers, notamment leurs opérations, divisions, et structures algébriques associées. Comprendre ces concepts est primordial pour aborder des domaines avancés comme la théorie des nombres, l'algèbre, ou la cryptographie.

Cette fiche vise à présenter les notions essentielles de l'arithmétique élémentaire dans (\mathbb{Z}) au niveau intermédiaire. Nous explorerons les notions de divisibilité, le maximum commun diviseur (pgcd), le lemme de Bézout, les nombres premiers, et la décomposition en facteurs premiers.

1. Ensemble (\mathbb{Z}) et ses Opérations

L'ensemble (\mathbb{Z}) comprend tous les entiers relatifs :
[ \mathbb{Z} = {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots} ]

Opérations usuelles sur (\mathbb{Z}) :

• Addition
• Soustraction
• Multiplication
• Division entière (pas toujours possible dans (\mathbb{Z}))

Définition :
Division Euclidienne dans (\mathbb{Z}) :
Pour tout (a, b \in \mathbb{Z}) avec (b \neq 0), il existe des entiers uniques (q) et (r) tels que
[ a = bq + r \quad \text{avec } 0 \leq r < |b| ]

2. Divisibilité dans (\mathbb{Z})

Définition :
Un entier (a) est divisible par un entier (b) (avec (b \neq 0)) si et seulement s’il existe un entier (k) tel que :
[ a = b \times k ]
On note alors (b | a).

Propriétés importantes :

• (b | a) et (b | c \implies b | (a + c))
• Si (b | a), alors (b | a \times m) pour tout entier (m)
• La divisibilité est une relation transitive

Exemples

• (3 | 12) car (12 = 3 \times 4)
• (5 \nmid 12) car 12 n’est pas multiple de 5

3. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

Définition :
Le plus grand commun diviseur (pgcd) de deux entiers (a) et (b) est le plus grand entier (d) tel que :
[ d | a \quad \text{et} \quad d | b ]
On le note (\gcd(a, b)).

Propriétés du PGCD :

• (\gcd(a, 0) = |a|)
• (\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)) (algorithme d’Euclide)
• Si (\gcd(a, b) = 1), alors (a) et (b) sont premiers entre eux (ou coprimes).

Exemple

Calculons (\gcd(48, 18)) avec l’algorithme d’Euclide :
[ 48 = 18 \times 2 + 12\ 18 = 12 \times 1 + 6\ 12 = 6 \times 2 + 0 ]
(\Rightarrow \gcd(48, 18) = 6).

Algorithme d’Euclide (schéma de calcul du PGCD)

[Diagramme]

Cet algorithme itère tant que le reste n’est pas nul et retourne le PGCD.

4. Lemme de Bézout

Définition :
Pour tous entiers (a) et (b), il existe des entiers (x) et (y) tels que :
[ ax + by = \gcd(a, b) ]
Ces coefficients (x) et (y) s’appellent coefficients de Bézout.

Ce résultat est fondamental car il permet :

• De résoudre des équations diophantiennes linéaires
• De prouver que si (\gcd(a,b)=1), alors (a) et (b) sont premiers entre eux.

Exemple

Pour (a=48) et (b=18), on peut trouver (x, y) tels que
[ 48x + 18y = 6 ]

À partir de l’algorithme d’Euclide étendu, on obtient par exemple :
[ 48 \times (-1) + 18 \times 3 = 6 ]

5. Nombres Premiers

Définition :
Un entier naturel (p > 1) est premier si ses seuls diviseurs positifs sont (1) et (p).

Propriétés clé :

• Tout entier (n > 1) peut être décomposé en produit de nombres premiers (unique à l’ordre près) - Théorème fondamental de l’arithmétique
• Si (p) est premier et (p | ab), alors (p | a) ou (p | b)

Exemple

Les premiers premiers entiers sont :
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots ]

6. Décomposition en Facteurs Premiers

Tout entier (n) (à l’exception de 0 et ±1) peut s’écrire de manière unique (à l’ordre près) comme un produit de puissances de nombres premiers :
[ n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k} ]

Où (p_i) sont des nombres premiers distincts et (\alpha_i) sont des entiers positifs.

Exemple

(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1)

7. Liens entre Concepts

Synthèse finale

L’arithmétique dans (\mathbb{Z}) s’appuie sur une compréhension fine des relations entre diviseurs, la structure de l’ensemble des diviseurs, et le concept de nombres premiers. L’algorithme d’Euclide, le lemme de Bézout, et la factorisation en nombres premiers sont des outils nécessaires pour comprendre comment un entier peut être décomposé et utilisé dans de nombreuses applications mathématiques.

Exercices proposés

• Trouver le PGCD et coefficients de Bézout de 56 et 24.
• Décomposer le nombre 210 en facteurs premiers.
• Vérifier la divisibilité pour différentes paires d’entiers.

Si vous voulez approfondir, explorez le lien entre PGCD, PPCM (plus petit commun multiple), et la théorie modulaires des congruences !

Bonne révision !