Fiche de Révision : Définition d’une Probabilité

Introduction

La probabilité est un concept fondamental en mathématiques, notamment en statistique et en théorie des probabilités. Elle permet de quantifier l'incertitude d'un événement, c’est-à-dire d’évaluer à quel point cet événement est susceptible de se produire. Que ce soit pour prédire le temps qu'il fera demain, estimer la réussite à un examen, ou modéliser le hasard dans les jeux, la probabilité est omniprésente.

1. Qu’est-ce qu’une probabilité ?

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’un événement se réalise.

Une probabilité de 0 signifie que l’événement ne se produira pas (impossible).
Une probabilité de 1 signifie que l’événement est certain.
Une probabilité comprise entre 0 et 1 signifie que l’événement est possible, avec un degré de certitude variable.

2. Notions clés

2.1. Univers et événements

Univers ((\Omega)) : Ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.
Événement (A) : Sous-ensemble de l’univers, constitué des issues que l’on considère.

Exemple :
Si on lance un dé à six faces,
[ \Omega = {1,2,3,4,5,6} ]

Un événement A peut être "obtenir un nombre pair", donc:
[ A = {2,4,6} ]

2.2. Probabilité d’un événement

La probabilité ( P(A) ) est un nombre tel que :

( 0 \leq P(A) \leq 1 )
( P(\Omega) = 1 )
Si deux événements (A) et (B) sont incompatibles (ne peuvent pas se produire en même temps), alors : [ P(A \cup B) = P(A) + P(B) ]

3. Approche classique de la probabilité

Quand tous les résultats sont également probables, la probabilité d’un événement (A) est :

[ P(A) = \frac{\text{nombre de résultats favorables à } A}{\text{nombre total de résultats possibles}} ]

Exemple concret

Lancer un dé équilibré à six faces :

Univers : (\Omega = {1,2,3,4,5,6})
Événement (A =) "obtenir un nombre pair" = {2,4,6}
Nombre de résultats favorables = 3
Nombre total de résultats = 6

[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 ]

Cela signifie qu'on a 50% de chances d’obtenir un nombre pair.

4. Différents types d'événements et leur probabilité

Type d'événement	Définition	Probabilité
Événement certain	Se produit toujours	(P(A) = 1)
Événement impossible	Ne se produit jamais	(P(A) = 0)
Événement élémentaire	Correspond à un seul résultat de (\Omega)	(P({a}))
Événement contraire (A')	Ne se produit pas lorsque (A) se produit	(P(A') = 1 - P(A))
Événements incompatibles	Ne peuvent pas se produire simultanément	(P(A \cup B) = P(A) + P(B))

5. Propriétés importantes de la probabilité

Additivité : Pour des événements disjoints (A) et (B),

[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) ]

Complémentarité : L'événement contraire à (A) (noté (A')) a pour probabilité :

[ P(A') = 1 - P(A) ]

6. Visualisation des relations événement/probabilité

[Diagramme]

Dans ce diagramme :

L’univers englobe tous les événements possibles.
(A) et (A') sont complémentaires.
(A) et (B) ne peuvent pas se produire en même temps (incompatibles).

7. Calculs pratiques

7.1. Probabilité d’événement contraire

Si on connaît (P(A) = 0,3), alors

[ P(A') = 1 - 0,3 = 0,7 ]

Ce qui correspond à la probabilité que l’événement ne se produise pas.

7.2. Probabilité d’événements incompatibles

Si (A) et (B) sont incompatibles avec (P(A) = 0,4) et (P(B) = 0,2),

[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,6 ]

Cela veut dire que la probabilité que l’un ou l’autre se produise est 0,6.

8. Résumé des notions

Concept	Définition	Exemple
Probabilité	Nombre entre 0 et 1 mesurant la chance d’un événement	(P(A) = 0,5)
Événement certain	Se réalise forcément	(P(\Omega) = 1)
Événement impossible	Ne se produit jamais	(P(\emptyset) = 0)
Événement contraire	Événement "non A"	(P(A') = 1 - P(A))
Événements incompatibles	Ne peuvent pas arriver simultanément	(P(A \cup B) = P(A) + P(B))

Synthèse

La probabilité est la mesure mathématique de l'incertitude.
Elle se mesure grâce à un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).
La compréhension des événements, de l’univers des résultats, et des notions d’événements complémentaires et incompatibles est indispensable.
Le calcul de la probabilité se base souvent sur la proportion de résultats favorables à un événement parmi tous les résultats possibles.
Ces concepts permettent de modéliser et d’analyser n’importe quel phénomène aléatoire.

Pour aller plus loin : Arbre de probabilités simple

Pour une expérience comportant plusieurs étapes (par exemple tirer deux cartes, lancer deux dés), on peut représenter les événements dans un arbre de probabilités.