Equations linéaires et graphes de droites
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Fiche de révision : Équations linéaires et graphes de droites
Introduction
Les équations linéaires et les graphes de droites font partie des notions fondamentales en mathématiques, particulièrement en algèbre et en géométrie analytique. Elles permettent de représenter et d'analyser des relations proportionnelles ou affines entre deux variables, généralement notées (x) et (y).
L’objectif de cette fiche est d’explorer les différentes formes d’équations de droites, leur interprétation graphique, ainsi que les méthodes pour tracer et analyser ces droites dans le plan cartésien.
1. Définitions essentielles
Équation linéaire : Une équation algébrique qui exprime une relation directe entre deux variables (x) et (y), généralement sous la forme (y = mx + p), où (m) et (p) sont des constantes réelles.
Graphe de droite : Représentation graphique d’une équation linéaire dans un repère cartésien, où chaque point ((x,y)) satisfait l’équation.
2. Formes principales des équations de droites
2.1. Forme réduite (ou forme pente–ordonnée à l’origine)
La forme la plus courante est :
[Formule mathématique]
- (m) est la pente ou coefficient directeur (indique l’inclinaison de la droite).
- (p) est l'ordonnée à l'origine (le point où la droite coupe l'axe des ordonnées).
Interprétation de la pente :
La pente (m) représente la variation de (y) quand (x) augmente de 1 unité :
[Formule mathématique]
Exemple :
(y = 2x + 3) signifie que :
- La droite passe par le point ((0,3)).
- Pour chaque augmentation de (x) de 1, (y) augmente de 2.
2.2. Forme générale (ou forme implicite)
[Formule mathématique]
Avec (A, B, C \in \mathbb{R}) et (A) et (B) non simultanément nuls.
- Cette forme est plus générale.
- La pente est donnée par (m = -\frac{A}{B}) (si (B \neq 0)).
Exemple :
(3x - 2y + 6 = 0) peut se transformer en forme réduite :
[Formule mathématique]
2.3. Forme paramétrique
On exprime généralement un point (M) sur la droite par :
[Formule mathématique]
- ((x_0, y_0)) est un point connu sur la droite.
- (\vec{u} = (u_x, u_y)) est un vecteur directeur.
- (t \in \mathbb{R}) est un paramètre.
3. Relation entre équation et graphe
Le graphe de la droite est l’ensemble des points ((x, y)) qui vérifient son équation.
3.1. Tracé d’une droite à partir de la forme réduite
- Repérer le point d’ordonnée à l’origine ((0, p)).
- Utiliser la pente (m) pour trouver un deuxième point :
Si (m = \frac{a}{b}), alors en partant de ((0,p)), aller de (b) unités en (x) et (a) unités en (y) pour trouver un second point.
- Tracer la droite passant par ces deux points.
3.2. Tracé à partir de la forme générale
- Trouver les points d’intersection avec les axes en posant successivement (x=0) puis (y=0).
4. Exemples pratiques
Exemple 1 : Équation et tracé d’une droite
L’équation (y = -\frac{1}{2}x + 4) a :
- (p = 4), donc passe par ((0,4)).
- (m = -\frac{1}{2}), donc pour aller d’un point à un autre, quand (x) augmente de 2, (y) diminue de 1.
Points :
- ((0,4))
- ((2, 3))
On trace la droite passant par ces points.
Exemple 2 : Transformer une forme générale en réduite
Équation : (2x + 3y - 6 = 0)
Isoler (y) :
[Formule mathématique]
- Pente (m = -\frac{2}{3})
- Ordonnée (p = 2)
5. Propriétés importantes
| Propriété | Interprétation |
|---|---|
| (m > 0) | La droite monte de gauche à droite. |
| (m < 0) | La droite descend de gauche à droite. |
| (m = 0) | La droite est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses). |
| (p) | Point d’intersection avec l’axe vertical (y). |
| Deux droites parallèles | Ont la même pente (m) (différents (p)). |
| Deux droites perpendiculaires | Le produit des pentes vaut (-1) : (m_1 \times m_2 = -1) |
6. Résolution graphique d’une équation linéaire simple
Pour résoudre (ax + by = c) graphiquement :
- Tracer la droite correspondant à (ax + by = c).
- Trouver le point(s) ((x,y)) satisfaisant l’équation selon le contexte (intersection avec une autre droite, avec les axes, etc.).
7. Système de deux équations linéaires
Considérons le système :
[Formule mathématique]
- Le point d’intersection des deux droites (solution du système) est :
[Formule mathématique]
8. Utilisation du vecteur directeur
Un vecteur directeur (\vec{u} = (u_x, u_y)) permet de décrire la direction de la droite.
-
Si (\vec{u}) est un vecteur directeur, alors toute droite parallèle a un vecteur directeur colinéaire à (\vec{u}).
-
La pente peut se calculer par :
[Formule mathématique]
9. Représentation Mermaid pour les types d’équations
[Diagramme]
Cette illustration montre les trois formes principales d’une droite et leurs relations.
10. Synthèse des points essentiels
- Une droite peut être décrite par une équation linéaire en plusieurs formes : générale, réduite ou paramétrique.
- La pente (m) représente l'inclinaison de la droite.
- L’ordonnée à l’origine (p) est le point de passage sur l’axe des ordonnées.
- Le graphe de la droite est l’ensemble des points ((x,y)) vérifiant l’équation.
- On peut tracer la droite en connaissant (m) et (p), ou ses intersections avec les axes.
- Deux droites sont :
- Parallèles si elles ont la même pente.
- Perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut (-1).
- Le vecteur directeur donne une autre manière de représenter une droite.
- Résoudre graphiquement, c’est trouver les points satisfaisant l’équation.
11. Exemple complet de tracé
Équation : (y = 3x - 2)
- Pente (m = 3)
- Ordonnée à l’origine (p = -2)
Points clés :
- Point 1 : ((0, -2))
- Point 2 : Pour (x=1), (y = 3(1) - 2 = 1) donc ((1, 1)).
On trace la droite passant par ces points.
Diagramme Mermaid : tracé simplifié d’une droite
[Diagramme]
Ce diagramme illustre les points clés pour tracer la droite (y = 3x - 2).
Fin de la fiche
Cette fiche vous donne les bases pour comprendre et manipuler les équations linéaires et leurs graphes. Maîtrisez ces notions pour résoudre des problèmes géométriques ou algébriques simples et complexes.
