Fiche de révision : Géométrie dans le plan - Calcul vectoriel et concepts fondamentaux

Introduction

La géométrie dans le plan s’enrichit grandement grâce au calcul vectoriel, outil puissant qui facilite la représentation et la manipulation des points, des droites et des figures. Le calcul vectoriel permet de traduire des concepts géométriques en opérations algébriques précises, rendant les démonstrations plus simples et les problèmes plus accessibles.

Cette fiche de révision couvre les notions fondamentales du calcul vectoriel dans le plan, adaptées à un niveau intermédiaire. Vous y trouverez des définitions clés, des propriétés essentielles, des exemples concrets, ainsi que des rappels sur les liens entre les différents concepts.

1. Vecteurs dans le plan

1.1. Définition d’un vecteur

Un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction, un sens et une norme (longueur), mais n’a pas de position fixée dans le plan.

• Notation : Un vecteur est souvent noté (\overrightarrow{AB}) où (A) et (B) sont deux points du plan.
• La norme de vecteur (\vec{u}), notée (|\vec{u}|), est la longueur de ce vecteur.
• Le vecteur nul (\vec{0}) a pour norme zéro et ne possède ni direction ni sens.

1.2. Existence et égalité

Deux vecteurs (\vec{u}) et (\vec{v}) sont égaux si et seulement s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Égalité de vecteurs :
[ \vec{u} = \vec{v} \iff \text{Même direction} + \text{Même sens} + |\vec{u}| = |\vec{v}| ]

1.3. Vecteurs libres et repères

Un vecteur dans le plan est libre s’il ne dépend pas d’un point de départ particulier.

Dans un repère orthonormé ((O; \vec{i}, \vec{j})), on peut représenter tout vecteur (\vec{u}) par ses coordonnées ((x, y)) telles que :

[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} ]

Ces coordonnées sont uniques.

2. Opérations sur les vecteurs

2.1. Addition de vecteurs

• Méthode géométrique (règle du parallélogramme) :

Si (\vec{u}) et (\vec{v}) sont deux vecteurs, leur somme (\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}) est obtenue en construisant un parallélogramme avec (\vec{u}) et (\vec{v}), ou en plaçant (\vec{v}) à l’extrémité de (\vec{u}) et en rejoignant l’origine au bout final.

[Diagramme]

2.2. Multiplication par un scalaire

Soit (\lambda) un réel et (\vec{u}) un vecteur :

[ \lambda \vec{u} ]

• Si (\lambda > 0), le vecteur (\lambda \vec{u}) a la même direction et le même sens que (\vec{u}), norme multipliée par (|\lambda|).
• Si (\lambda < 0), même direction, mais sens inverse.
• Si (\lambda = 0), on obtient le vecteur nul (\vec{0}).

2.3. Coordonnées des opérations

Dans un repère orthonormé, si

[ \vec{u} = (x_1, y_1) \quad\text{et}\quad \vec{v} = (x_2, y_2) ]

alors :

• Addition :

[ \vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) ]

• Multiplication par un scalaire (\lambda) :

[ \lambda \vec{u} = (\lambda x_1, \lambda y_1) ]

3. Concepts fondamentaux du calcul vectoriel appliqués à la géométrie

3.1. Vecteur directeur d’une droite

Une droite dans le plan peut être décrite à partir d’un vecteur directeur (\vec{d}), qui indique la direction de cette droite.

Vecteur directeur :
Un vecteur (\vec{d}\neq \vec{0}) est un vecteur directeur d’une droite (D) si tous les vecteurs de la forme (\overrightarrow{AB}) (avec (A, B \in D)) sont colinéaires à (\vec{d}).

3.2. Colinéarité de vecteurs

Definition : Deux vecteurs (\vec{u}) et (\vec{v}) sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre :
[ \exists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{u} = \lambda \vec{v} ]

• Propriété Figure: Les vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent avoir un sens opposé.

• En coordonnées, (\vec{u} = (x_1, y_1)), (\vec{v} = (x_2, y_2)), la colinéarité implique :

[ x_1 y_2 - y_1 x_2 = 0 ]

3.3. Equation vectorielle d’une droite

Soit un point (A(x_A, y_A)) et un vecteur directeur (\vec{d} = (a, b)), alors un point (M(x, y)) appartient à la droite (D) si et seulement si :

[ \overrightarrow{AM} = t \vec{d} \quad \text{pour un } t \in \mathbb{R} ]

Ce qui se traduit par les équations paramétriques :

[ [Contenu mathématique] ]

3.4. Coordonnées du vecteur (\overrightarrow{AB})

Si (A(x_A, y_A)) et (B(x_B, y_B)) sont deux points du plan, alors :

[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) ]

Cette relation sert à calculer le vecteur dont on connaît les points extrêmes.

4. Applications pratiques

4.1. Vérifier l’alignement de trois points

Trois points (A, B, C) sont alignés si et seulement si les vecteurs (\overrightarrow{AB}) et (\overrightarrow{AC}) sont colinéaires.

Exemple :

Soient (A(1,2)), (B(3,6)), (C(5,10)).

• Calcul de (\overrightarrow{AB} = (3 -1, 6 -2) = (2,4))
• Calcul de (\overrightarrow{AC} = (5 -1, 10 -2) = (4,8))

On vérifie la colinéarité :

[ 2 \times 8 - 4 \times 4 = 16 -16 = 0 ]

Donc, (A, B, C) sont alignés.

4.2. Trouver un point moyen

Le point moyen (M) de (A(x_A, y_A)) et (B(x_B, y_B)) est défini par :

[ M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) ]

5. Synthèse et liens entre concepts

Voici un résumé des notions clés et leurs relations :

Diagramme récapitulatif des relations fondamentales

[Diagramme]

Ce diagramme illustre que tous les concepts gravitent autour de la notion fondamentale de vecteur, dont découlent les opérations et les applications géométriques.

Conclusion

Le calcul vectoriel est un outil central en géométrie dans le plan, offrant une approche algébrique claire des problèmes géométriques. En maîtrisant les notions de vecteurs, les opérations sur ceux-ci, et leurs applications à la description des droites, on acquiert un langage mathématique puissant qui rend accessible l’étude des configurations géométriques variées.

Points essentiels à retenir :

• Comprendre la définition et la représentation des vecteurs dans un plan.
• Savoir effectuer l’addition et la multiplication par un scalaire.
• Décrire une droite via son vecteur directeur et son équation paramétrique.
• Utiliser la colinéarité des vecteurs pour déterminer l’alignement des points.

En consolidant ces bases, la géométrie vectorielle devient un allié incontournable pour résoudre des problèmes complexes dans le plan.