Fiche de révision : Intégrales multiples

Introduction aux intégrales multiples

Les intégrales multiples sont une généralisation de l'intégrale simple (une variable) à plusieurs variables. Elles permettent de calculer des quantités comme l'aire, le volume, la masse, ou encore la charge électrique dans des domaines plus complexes, en intégrant une fonction à plusieurs variables sur un domaine à deux, trois ou plus de dimensions.

1. Définitions clés

Intégrale double : Soit [Formule] une fonction définie sur un domaine [Formule]. L’intégrale double de [Formule] sur [Formule] se note [Formule mathématique] et représente la somme continue (intégrale) des valeurs de [Formule] pondérée par les éléments d’aire [Formule] dans [Formule].

Intégrale triple : Soit [Formule] définie sur un domaine [Formule], l’intégrale triple est [Formule mathématique] et mesure la somme continue pondérée par les éléments de volume [Formule] dans [Formule].

2. Intégrale double sur un domaine rectangulaire

Soit un domaine rectangulaire [Formule].

L’intégrale double est définie par :

[Formule mathématique]

C’est une intégrale itérée : on intègre d’abord par rapport à [Formule], puis par rapport à [Formule].

Exemple concret

Calculer [Formule] avec [Formule].

Calcul étape par étape : [ \int_0^1 \left( \int_0^2 (x+y) dy \right) dx = \int_0^1 \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 dx = \int_0^1 (2x + 2) dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 3 ]

3. Intégrale double sur un domaine quelconque

Lorsque le domaine [Formule] n’est pas rectangulaire, il faut décrire [Formule] sous forme d’ensembles de restrictions.

Exemples typiques :

• Domaine type I : [Formule]
• Domaine type II : [Formule]

L’intégrale devient :

[Formule mathématique]

ou

[Formule mathématique]

4. Changement de variables dans une intégrale double

Le changement de variables permet de simplifier un domaine ou la fonction. Soient :

• [Formule] variables nouvelles, fonctions de [Formule] : [Formule], [Formule],
• [Formule] le jacobien du changement :

[Formule mathématique]

Alors l’intégrale double devient :

[Formule mathématique]

Exemple : Passage aux coordonnées polaires

Pour une fonction [Formule], on pose :

[Formule mathématique]

Le jacobien est : [Formule].

Ainsi,

[Formule mathématique]

5. Intégrale triple et domaines dans [Formule]

L'intégrale triple s'applique aux fonctions [Formule] définies sur un domaine [Formule].

Elle se calcule souvent par intégration itérée, par exemple :

[Formule mathématique]

6. Applications physiques et géométriques

• Calcul de volumes : L’intégrale triple sur [Formule] de la fonction [Formule] donne le volume de [Formule] :

[Formule mathématique]

• Calcul de masse volumique : Si [Formule] est une densité volumique :

[Formule mathématique]

• Centre de gravité :

[Formule mathématique]

7. Résumé des étapes pour calculer une intégrale multiple

[Diagramme]

8. Exemples d’intégrales multiples avec changement de variables

Exemple 1 : Intégrale double sur un cercle

Calculer :

[Formule mathématique]

où [Formule] est le disque de centre 0 et rayon 2.

Solution :

Par passage en coordonnées polaires :

[Formule mathématique] Jacobien : [Formule]

Donc :

[Formule mathématique]

Exemple 2 : Volume sous une paraboloïde

Déterminer le volume sous la surface [Formule] au-dessus du plan [Formule].

Le domaine [Formule] est défini par :

[Formule mathématique]

Solution :

Le domaine projeté sur le plan [Formule] est le disque [Formule].

On calcule :

[Formule mathématique]

Passage aux coordonnées polaires :

[Formule mathématique]

Calcul de l'intérieur :

[Formule mathématique]

Finalement :

[Formule mathématique]

9. Équivalence et relations importantes

• L’intégrale multiple réduit à une intégrale simple lorsque la fonction dépend d’une variable uniquement.
• L’ordre d’intégration peut souvent être inversé pour simplifier le calcul (théorème de Fubini).
• Le changement de variables est crucial pour simplifier les domaines et la fonction intégrand.

Synthèse : points essentiels sur les intégrales multiples

Pour aller plus loin

• Intégrales en coordonnées cylindriques et sphériques (coordonnées adaptées à la géométrie)
• Théorème de Fubini pour l’inversion de l’ordre d’intégration
• Applications en probabilités (densités jointes)
• Intégrales multiples à dimension supérieure

Conclusion

Les intégrales multiples sont des outils fondamentaux pour étudier des quantités continues en plusieurs dimensions. Maîtriser le passage de l’intégrale simple à l’intégrale double et triple, bien comprendre les domaines d’intégration et savoir effectuer des changements de variables sont des compétences clés pour progresser en analyse multivariée, physique, ingénierie et plus encore.

N’hésitez pas à réaliser des exercices variés pour bien internaliser ces concepts !