Fiche de Révision : Techniques et Applications Mathématiques — Radicales, Simplifications et Développement

Introduction

Cette fiche couvre les notions fondamentales de manipulation des radicaux (racines carrées), leur simplification et l'application de la pensée logique en mathématiques pour transformer des expressions complexes. Cela permet de modéliser efficacement des situations concrètes.

1. Radicaux et Calculs avec Racines Carrées

1.1 Définition essentielle

Racine carrée
La racine carrée d'un nombre positif ( a ), notée ( \sqrt{a} ), est le nombre positif dont le carré est égal à ( a ).

Exemples

• ( \sqrt{4} = 2 ) car ( 2^2 = 4 )
• ( \sqrt{81} = 9 )

1.2 Calculs simples avec radicaux

Exprimer et calculer :

• Exemple : ( A = \sqrt{51 - \sqrt{4}} )
  Calcul : ( \sqrt{4} = 2 ) → ( \sqrt{51 - 2} = \sqrt{49} = 7 )

• Exemple :
  ( D = (3 + \sqrt{11})^2 - (3 - \sqrt{11})^2 )

Développement et identité remarquable :

[ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab ]

Donc ici,

[ D = 4 \times 3 \times \sqrt{11} = 12 \sqrt{11} ]

2. Simplification des Radicaux

2.1 Règles clés

• Simplifier les racines en extrayant les carrés parfaits :

  ( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} )

• Regrouper et factoriser les expressions avec des racines semblables.

Exemple simplification

( 8\sqrt{28} - 2\sqrt{7} + 5\sqrt{63} )

Décomposons :

• ( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} )
• ( \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7} )

Donc,

[ 8 \times 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 5 \times 3\sqrt{7} = (16 - 2 + 15) \sqrt{7} = 29 \sqrt{7} ]

2.2 Rationaliser le dénominateur

Rationalisation
Processus qui consiste à éliminer un radical du dénominateur d'une fraction en multipliant par une expression appropriée.

Techniques

1. Multiplier numérateur et dénominateur par la conjugée si le dénominateur est de la forme ( a + \sqrt{b} ).

2. Utiliser l'identité : [ (a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b ]

Exemple

Rationaliser ( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} ):

[ \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1 ]

3. Développement et Factorisation

3.1 Identités remarquables

• ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )
• ( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 )
• ( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 )

Exemple :

Développer ( (\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x) ) :

[ = (\sqrt{5})^2 - x^2 = 5 - x^2 ]

3.2 Factorisation avec radicals

Exemple :

[ M = x^2 + 2x \sqrt{3} + 3 = (x + \sqrt{3})^2 ]

4. Exercices Type

Exercice type 1

Calculer :

[ C = 3 \sqrt{81} - \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36}} + \frac{\sqrt{144}}{6} + \sqrt{225} ]

• ( \sqrt{81} = 9 ), donc ( 3 \times 9 = 27 )
• ( \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{36}} = \frac{13}{6} )
• ( \frac{\sqrt{144}}{6} = \frac{12}{6} = 2 )
• ( \sqrt{225} = 15 )

Ainsi :

[ C = 27 - \frac{13}{6} + 2 + 15 = 44 + 2 - \frac{13}{6} = 46 - \frac{13}{6} = \frac{276 - 13}{6} = \frac{263}{6} ]

Exercice type 2

Simplifier :

[ L = \frac{1}{1 + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{1 - 2 \sqrt{2}} ]

Multipliant par la conjugée du dénominateur pour rationaliser chaque terme et additionnant.

5. Expressions Composées et Identités

Pour des expressions du type :

[ M = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} ]

On calcule ( M^2 ) pour simplifier.

[ M^2 = (\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})^2 + (\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}})^2 + 2 \sqrt{(7 + 4 \sqrt{3})(7 - 4 \sqrt{3})} ]

[ = 7 + 4 \sqrt{3} + 7 - 4 \sqrt{3} + 2 \sqrt{49 - (4 \sqrt{3})^2} = 14 + 2 \sqrt{49 - 16 \times 3} = 14 + 2 \sqrt{49 - 48} = 14 + 2 \times 1 = 16 ]

Donc :

[ M = \sqrt{16} = 4 ]

6. Mise en relation des notions

[Diagramme]

Cette chaîne montre la progression logique pour traiter des expressions radicales complexes :
D'abord simplifier, puis rationaliser pour une meilleure lisibilité, développer pour manipuler algébriquement, factoriser pour répondre à des questions d'équivalence ou résolution, et enfin effectuer les calculs numériques.

7. Conseils pour réussir

• Toujours rationaliser un dénominateur contenant un radical pour faciliter le calcul.
• Décomposer les racines en produits de carrés parfaits pour simplifier.
• Recourir aux identités remarquables pour le développement et la factorisation.
• Vérifier les hypothèses sur les valeurs (positivité) pour manipuler les racines.
• Travailler par étapes et écrire clairement chaque transformation.

8. Bonus - Expressions complexes à base de racines imbriquées

Exercice :
Montrer que :
( \sqrt{9 + \sqrt{79}} + \sqrt{9 - \sqrt{79}} = \sqrt{18 + \sqrt{8}} )

Le raisonnement suit la même méthode : calculer le carré de chaque côté et comparer.

Résumé des formules importantes

Conclusion

La maîtrise de la manipulation des racines carrées permet la résolution efficace d'expressions complexes et le traitement d’équations impliquant des radicaux. Ces techniques sont fondamentales dans différents domaines mathématiques et applications pratiques.

Bonne révision et n'oubliez pas la rigueur dans chaque étape !