Fiche de Révision : Mathématiques 1 - Semestre 1

Enseignant : Yong FANG
Université : CY Cergy Paris Université
Contact : yfang@cyu.fr | 0134256692

Table des Matières Principales

• 1 Prérequis
  • 1.1 Géométrie plane
  • 1.2 Fonctions
• 2 Nombres réels
• 3 Propositions
• 4 Géométrie dans l'espace
• 5 Étude de fonctions
• 6 Dérivabilité
• 7 Développements limités
• 8 Primitives et intégrales

1. Prérequis

Ce chapitre fondamental rappelle les notions à maîtriser en géométrie plane et fonctions, servant de base aux études ultérieures.

1.1 Géométrie plane

Définition du plan

Le plan est l’ensemble des couples ordonnés de réels, noté ({(x; y)}).
Un couple ((x; y)) s’appelle un point du plan, où :

• (x) est l’abscisse (première coordonnée)
• (y) est l’ordonnée (deuxième coordonnée)

Représentation du plan

Le plan est représenté à l’aide de deux axes orthogonaux :

• Axe des abscisses (horizontal)
• Axe des ordonnées (vertical)

Cette configuration est appelée repère orthonormé.

Vecteurs dans le plan

• Un vecteur est défini par ses coordonnées (\vec{u} = (u_x, u_y)).
• Addition de vecteurs : (\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y)).
• Multiplication par un scalaire (\lambda \in \mathbb{R}) : (\lambda \vec{u} = (\lambda u_x, \lambda u_y)).

Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple scalaire de l’autre.

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération essentielle sur les vecteurs, noté (\vec{u} \cdot \vec{v}), définie par :
[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y ]

• La norme d’un vecteur (\vec{u}) est (|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}).
• La distance entre deux points (A) et (B) est la norme du vecteur (\overrightarrow{AB}).
• Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul ((\vec{u} \cdot \vec{v} = 0)).
• L’angle (\theta) entre deux vecteurs est donné par la formule :
  [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} ]

Matrices (2 \times 2) et déterminant

• Une matrice (2 \times 2) est une structure représentant une transformation linéaire ou un système.
• Le déterminant d’une matrice (A = [Contenu mathématique]) est défini par :
  [ \det(A) = ad - bc ]

Propriété clé : Le déterminant élimine la colinéarité : (\det(A) = 0) signifie que les colonnes ou lignes sont linéairement dépendantes.

Lien avec produit vectoriel (en dimension 2) : Le produit vectoriel de deux vecteurs (\vec{u} = (u_x, u_y)) et (\vec{v} = (v_x, v_y)) peut être considéré (en dimension 3) comme le déterminant utilisé pour exprimer une aire orientée.

1.2 Fonctions

Définitions clés

Fonction : Une fonction (f) est une correspondance qui à chaque élément (x) d’un ensemble (D) (le domaine) associe un unique élément (f(x)) d’un ensemble cible.

• Image : Pour (x \in D), l’image est (f(x)).
• Antécédent : Pour (y) dans l’ensemble d’arrivée, un antécédent est toute valeur (x) avec (f(x) = y).
• Courbe représentative : La représentation graphique de la fonction dans un repère.

Fonctions affines

Une fonction affine est de la forme :
[ f(x) = ax + b ]

• Graphiquement, elle représente une droite.
• (a) est appelé le coefficient directeur, lié à la pente.
• (b) est l’ordonnée à l’origine (point où la droite coupe l’axe des ordonnées).

Comportement du signe :

• Si (a > 0), (f) est croissante.
• Si (a < 0), (f) est décroissante.

Polynômes du second degré

Une fonction polynomiale du second degré est :
[ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0 ]

• Le graphe est une parabole.
• Le discriminant (\Delta = b^2 - 4ac) détermine la nature des racines de l’équation (ax^2 + bx + c = 0).

• Le signe de (a) détermine l’ouverture de la parabole :
  • (a > 0) : ouverte vers le haut
  • (a < 0) : ouverte vers le bas

Liens entre concepts et approfondissements

• La géométrie plane fournit le cadre et le vocabulaire pour comprendre visuellement les fonctions, notamment la droite d’une fonction affine et la parabole d’une fonction quadratique.
• Le produit scalaire et les notions de norme et distance permettent d’aborder la continuité et les limites des fonctions en géométrie analytique.
• La notion de colinéarité via les vecteurs ou les matrices sert aussi dans la résolution de systèmes d’équations linéaires associées aux fonctions affines.

Diagrammes Mermaid pour synthèse des notions

Diagramme sur les structures des fonctions

[Diagramme]

Ce diagramme permet de visualiser les types principaux de fonctions abordées dans le premier chapitre, mettant en avant la fonction affine et la fonction quadratique ainsi que leurs propriétés.

Conclusion

Ce premier chapitre pose des bases indispensables : la structure du plan, la définition claire des vecteurs et opérations qui s’y rattachent, accompagnées des notions fondamentales sur les fonctions, particulièrement les fonctions affines et quadratiques. Ces concepts seront étendus dans les chapitres suivants avec les nombres réels, limites, dérivées, etc.