Méthodes de résolution matricielle
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Fiche de Révision : Méthodes de Résolution Matricielle
Introduction
La résolution matricielle est une technique fondamentale en mathématiques appliquées et en ingénierie, permettant de résoudre des systèmes linéaires d’équations sous forme matricielle. Ces méthodes sont omniprésentes en algèbre linéaire, traitement du signal, mécanique, informatique, etc. La maîtrise de ces méthodes est essentielle pour traiter efficacement des systèmes comportant un grand nombre d’inconnues.
Définition :
Un système linéaire peut s’écrire sous la forme matricielle
[Formule mathématique]
où [Formule] est une matrice carrée de coefficients, [Formule] est un vecteur colonne d'inconnues, et [Formule] un vecteur colonne des termes constants.
1. Notions de Base
Avant de plonger dans les méthodes, il est important de connaître les éléments fondamentaux.
- Matrice carrée [Formule] : [Formule]
- Vecteur solution [Formule] : [Formule]
- Vecteur colonne des constantes [Formule] : [Formule]
- Système compatible : Système ayant au moins une solution
- Déterminant [Formule] : Permet de savoir si [Formule] est inversible (non singulière)
2. Résolution par la Méthode Directe
2.1 Méthode de l’inverse (Inversion matricielle)
Si la matrice [Formule] est inversible, la solution est unique et donnée par :
[Formule mathématique]
Propriété : La matrice [Formule] est inversible si et seulement si [Formule].
Inconvénient : Calculer [Formule] est coûteux en temps et numériquement instable pour les matrices de grande dimension.
2.2 Méthode de Cramer
Utilise le déterminant pour résoudre chaque inconnue.
Pour chaque [Formule],
[Formule mathématique]
où [Formule] est la matrice [Formule] avec la [Formule]-ième colonne remplacée par [Formule].
Limitations : Pratique uniquement pour des petites matrices (dimension [Formule] car le calcul des déterminants est lourd).
3. Méthodes de Résolution Basées sur la Décomposition
Souvent pour des grandes matrices, on décompose [Formule] en composants plus simples facilitant la résolution.
3.1 Décomposition LU
On décompose [Formule] en produit de deux matrices triangulaires :
[Formule mathématique]
- [Formule] : matrice triangulaire inférieure
- [Formule] : matrice triangulaire supérieure
Processus :
- Résoudre [Formule] (substitution avant)
- Résoudre [Formule] (substitution arrière)
Cette méthode évite d’inverser directement [Formule].
3.2 Décomposition Cholesky
Utilisée pour les matrices symétriques et définies positives.
[Formule mathématique]
où [Formule] est triangulaire inférieure.
Avantages :
- Moins coûteux que LU
- Plus stable numériquement
3.3 Décomposition QR
Permet de factoriser [Formule] en :
[Formule mathématique]
- [Formule] : matrice orthogonale ([Formule])
- [Formule] : matrice triangulaire supérieure
Utilisée pour les moindres carrés et les matrices non carrées.
4. Méthodes Itératives
Quand la matrice est grande et/ou creuse (nombre élevé de zéros), les méthodes itératives sont plus efficaces.
4.1 Méthode de Jacobi
Itération basée sur la matrice diagonale et le reste.
[Formule mathématique]
On calcule [Formule] en utilisant les valeurs de l’itération précédente.
4.2 Méthode de Gauss-Seidel
Similaire à Jacobi mais utilise immédiatement les nouvelles valeurs calculées dans la même étape.
[Formule mathématique]
Plus rapide en général que Jacobi.
4.3 Méthode du Gradient Conjugué
Méthode itérative optimisée pour les matrices symétriques et définies positives.
Permet d’atteindre la solution en moins d’itérations que Jacobi ou Gauss-Seidel.
[Diagramme]
Ce diagramme illustre globalement les possibilités de résolution d’un système linéaire par différentes méthodes.
5. Lien entre les méthodes et critères de choix
| Méthode | Type de matrice | Avantages | Inconvénients | Usage principal |
|---|---|---|---|---|
| Inverse de [Formule] | Toute matrice inversible | Solution exacte | Coûteux et instable | Petites matrices |
| Cramer | Petite matrice carrée | Simple, conceptuelle | Très coûteux avec croissante [Formule] | Petit systèmes |
| LU | Matrice carrée | Rapide pour plusieurs systèmes | Doit être carrée et inversible | Résolution répétée |
| Cholesky | Matrice symétrique définie positive | Plus efficace que LU | Conditions strictes | Matrices symétriques |
| QR | Toute matrice (possiblement rectangulaire) | Stable et généraliste | Plus coûteux | Régression, moindres carrés |
| Jacobi / Gauss-Seidel / Gradient conjugué | Grandes matrices creuses | Moins mémoire, bonne convergence | Nécessite conditions de convergence | Grands systèmes creux |
6. Exemple concret : Résolution LU
Considérons :
[Formule mathématique]
- Étape 1 : Décomposition LU
[Formule mathématique]
Calcule [Formule], [Formule], [Formule], [Formule]
- Étape 2 : Résolution [Formule]
[Formule mathématique]
- Étape 3 : Résolution [Formule]
[Formule mathématique]
Solution :
[Formule mathématique]
7. Synthèse des points essentiels
- La résolution matricielle transcrit un système linéaire [Formule] sous forme compacte.
- Méthodes directes (inverse, Cramer, décompositions) fournissent des solutions exactes pour des matrices non singulières.
- Les décompositions (LU, Cholesky, QR) facilitent et optimisent la résolution, surtout pour des systèmes répétés ou spécifiques (symétriques).
- Les méthodes itératives (Jacobi, Gauss-Seidel, Gradient conjugué) sont adaptées aux grands systèmes creux où la mémoire et la vitesse comptent.
- Le choix de la méthode dépend des propriétés de la matrice (taille, symétrie, densité) et des exigences de précision et performance.
En résumé :
La maîtrise des méthodes de résolution matricielle permet de choisir la technique la plus adaptée suivant le contexte, garantissant une résolution efficace et fiable des systèmes linéaires.
Pour aller plus loin, n’hésitez pas à pratiquer avec des logiciels mathématiques (MATLAB, Python - NumPy) afin de manipuler et expérimenter ces méthodes.
