Fiche de Révision : Opérations Fondamentales sur les Matrices

Introduction

Les matrices sont des outils essentiels en mathématiques, en particulier en algèbre linéaire, permettant de représenter et de manipuler des systèmes linéaires, des transformations géométriques et bien d’autres applications. Comprendre les opérations fondamentales sur les matrices est clé pour progresser dans ces domaines.

1. Définitions clés

Matrice : Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et colonnes. Une matrice de dimension [Formule] a [Formule] lignes et [Formule] colonnes.

Élément d'une matrice : L'élément situé à la [Formule] ligne et [Formule] colonne est noté [Formule].

Matrice carrée : Matrice ayant un nombre égal de lignes et de colonnes ([Formule]).

2. Addition et Soustraction de Matrices

2.1 Définition

• Deux matrices [Formule] et [Formule] de mêmes dimensions [Formule] peuvent être additionnées ou soustraites.

• L'addition/soustraction se fait terme à terme : [Formule mathématique]

2.2 Exemple

Soient [Formule mathématique]

Alors, [Formule mathématique]

3. Multiplication par un scalaire

3.1 Définition

• Multiplier une matrice [Formule] par un nombre réel [Formule] signifie multiplier tous ses éléments par [Formule] :

  [Formule mathématique]

3.2 Exemple

Pour [Formule mathématique]

On obtient [Formule mathématique]

4. Multiplication de matrices

4.1 Condition pour multiplier deux matrices

• Une matrice [Formule] de dimension [Formule] peut être multipliée par une matrice [Formule] de dimension [Formule].
• Le produit [Formule] est une matrice de dimension [Formule].

4.2 Définition

Le produit est défini par :

[Formule mathématique]

4.3 Exemple

Soient [Formule mathématique]

Calculons [Formule] :

• Élément en position [Formule] : [Formule]
• Élément en position [Formule] : [Formule]
• Élément en position [Formule] : [Formule]
• Élément en position [Formule] : [Formule]

Donc,

[Formule mathématique]

4.4 Remarques importantes

• La multiplication de matrices n'est pas commutative, c’est-à-dire généralement [Formule].
• La multiplication est associative : [Formule].
• La multiplication est distributive par rapport à l'addition : [Formule].

5. Matrice identité et matrices inverses

5.1 Matrice identité

Matrice identité [Formule] : matrice carrée [Formule] avec des 1 sur la diagonale principale et 0 ailleurs.

Exemple pour [Formule] :

[Formule mathématique]

Elle est l’élément neutre de la multiplication matricielle :

[Formule mathématique]

5.2 Matrice inverse

Matrice inverse : Pour une matrice carrée [Formule] de dimension [Formule], une matrice [Formule] est son inverse si

[Formule mathématique]

• Seulement les matrices carrées non singulières (dont le déterminant est non nul) ont une inverse.
• Calculer l’inverse est une opération fondamentale en algèbre linéaire.

6. Transposition de matrices

6.1 Définition

• La transposée [Formule] d’une matrice [Formule] est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.

Formellement si [Formule], alors

[Formule mathématique]

6.2 Exemple

[Formule mathématique]

7. Synthèse des opérations fondamentales

[Diagramme]

• Addition et soustraction nécessitent des matrices de même taille.
• Multiplication par un scalaire modifie chaque entrée.
• Multiplication matricielle est plus complexe : doit respecter la compatibilité des dimensions.
• Transposition échange les indices en ligne/colonne.
• Inverse existe seulement pour les matrices carrées non singulières.

8. Exemple complet avec plusieurs opérations

Considérons deux matrices [Formule] :

[Formule mathématique]

• Addition :

[Formule mathématique]

• Multiplication par scalaire (ex. [Formule]) :

[Formule mathématique]

• Produit [Formule] :

[Formule mathématique]

• Transposée de [Formule] :

[Formule mathématique]

• Déterminant de [Formule] :

[Formule mathématique]

Donc [Formule] est inversible.

• Inverse de [Formule] (formule pour une matrice [Formule]) :

[Formule mathématique]

9. Propriétés importantes des opérations

Conclusion

La maîtrise des opérations fondamentales sur les matrices est indispensable pour comprendre et manipuler les systèmes linéaires, les transformations vectorielles, et bien d'autres applications. Ces opérations comprennent :

• L'addition/soustraction,
• La multiplication par un scalaire,
• La multiplication matricielle,
• La transposition,
• La recherche de l’inverse d'une matrice carrée.

Pour aller plus loin :

• Intégration des notions de déterminant, rang, et matrices inverses.
• Applications en résolution de systèmes linéaires via la méthode de la matrice inverse.
• Étude des matrices spéciales (symétriques, orthogonales...).

N’hésitez pas à pratiquer avec différents exemples pour renforcer la compréhension de ces concepts essentiels !