Fiche de Révision : Résolution Graphique d’Équations et d’Inéquations

Introduction

La résolution graphique est une méthode visuelle pour trouver les solutions d’une équation ou d’une inéquation en représentant les fonctions impliquées sur un repère orthonormé. Cette approche est essentielle car elle offre une compréhension intuitive du problème mathématique en mettant en lumière l’emplacement des solutions sur l’axe des abscisses (l’axe (x)).

1. Définitions clés

Équation : Une égalité entre deux expressions mathématiques contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation signifie trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui vérifient cette égalité.

Inéquation : Une inégalité entre deux expressions mathématiques. Résoudre une inéquation revient à déterminer l’ensemble des valeurs de l'inconnue pour lesquelles l’inégalité est vraie.

Représentation graphique : La courbe ou la figure obtenue en traçant les points correspondant aux solutions d’une fonction dans un plan muni d’un repère.

2. Résolution graphique d’une équation

Principe général

Pour résoudre graphiquement une équation du type :

[ f(x) = g(x) ]

il suffit de représenter les deux fonctions (y = f(x)) et (y = g(x)) dans un même repère. Les solutions de l’équation correspondent alors aux abscisses des points d’intersection entre les deux courbes.

Exemple

Soit l’équation :

[ x^2 = 2x + 3 ]

• On trace la courbe de (y = x^2)
• On trace la droite (y = 2x + 3)

Les solutions sont les abscisses des points où ces courbes se coupent.

Illustration Mermaid : Étapes pour résoudre une équation graphique

[Diagramme]

3. Résolution graphique d’une inéquation

Principe général

Pour résoudre une inéquation du type :

[ f(x) \leq g(x) ]

ou

[ f(x) > g(x) ]

on procède pareillement en traçant les courbes des fonctions (f) et (g). Ensuite, on identifie sur l’axe des (x) où la courbe de (f(x)) est en dessous (pour (\leq)) ou au-dessus (pour (>)) de celle de (g(x)).

Exemple

Résoudre l’inéquation :

[ x^2 \leq 2x + 3 ]

• Tracez les courbes (y = x^2) et (y = 2x + 3).
• L’ensemble des (x) tels que la courbe (x^2) est en dessous ou égale à celle de (2x + 3) fournit les solutions.

4. Étapes détaillées de la résolution graphique

5. Interprétation géométrique liée aux intersections

• Les solutions d’une équation sont liées à l'intersection de deux courbes.
• Les solutions d’une inéquation correspondent au domaine sur l’axe des abscisses où une courbe est située au-dessus ou en dessous d’une autre.
• L’axe des abscisses (axe (x)) sert à lire directement les valeurs solutions.

6. Cas particuliers et conseils pratiques

• Fonctions polynomiales: Le nombre d’intersections varie selon le degré des polynômes et leurs coefficients.
• Fonctions de formes différentes (exponentielle, racine, constante...) peuvent donner des solutions complexes visuellement.
• Toujours utiliser une échelle adaptée pour ne pas fausser la lecture des intersections.
• Utiliser un outil graphique (calculatrice, logiciel comme GeoGebra) facilite la précision.

7. Exemple complet avec graphique

Résoudre graphiquement :

[ x^2 - 4x + 3 = 0 ]

• On pose (f(x) = x^2 - 4x + 3)
• On résout graphiquement en traçant la courbe de (y = f(x)) et l'axe (y=0) (l’axe des abscisses).
• Les points d'intersection correspondent aux racines de (f).

L’intersection entre la courbe (y=f(x)) et l'axe (y=0) correspond aux solutions.

8. Synthèse des points essentiels

• La résolution graphique traduit des équations/inéquations en problèmes d’intersections ou de position relative de courbes.
• Pour une équation, chercher l'abscisse en commun des deux courbes.
• Pour une inéquation, déterminer les intervalles où une courbe est au-dessus ou en dessous d’une autre.
• Une bonne visualisation permet de comprendre facilement les solutions même sans calculs algébriques.
• Pratique nécessaire pour maîtriser la lecture graphique et éviter les erreurs d’interprétation.

9. Diagramme de décision pour la résolution graphique

[Diagramme]

Conclusion

La résolution graphique est une méthode directe et visuelle permettant de résoudre des équations et inéquations en utilisant la représentation des fonctions sur un plan cartésien. En s’appuyant sur l’étude des intersections et des positions relatives des courbes, cette technique complète efficacement la résolution algébrique, renforçant la compréhension intuitive et l’interprétation des solutions.

Bonnes révisions et bonne pratique du tracé graphique !