Fiche de Révision : Suites Arithmétiques

Introduction

Les suites arithmétiques sont un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en analyse et algèbre. Elles permettent d’étudier des suites de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Ce type de suite est largement utilisé dans divers domaines, comme la finance, la physique, et la programmation.

1. Définition d'une Suite Arithmétique

Une suite (uₙ) est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.

Autrement dit, il existe un nombre réel r tel que pour tout entier naturel n:

[ u_{n+1} - u_{n} = r ]

• r est appelé la raison de la suite arithmétique.
• Le terme général dépend du premier terme et de la raison.

2. Formule du terme général d'une suite arithmétique

À partir de la définition, on peut exprimer chaque terme de la suite en fonction du premier terme ( u_0 ) (ou ( u_1 )) et de la raison ( r ):

[ u_n = u_0 + n \times r ]

ou, si la numérotation commence à 1,

[ u_n = u_1 + (n - 1) \times r ]

Exemple :

Soit la suite ((u_n)) telle que ( u_1 = 3 ) et ( r = 5 ).
Trouver ( u_5 ).

Calcul:

[ u_5 = u_1 + (5 - 1) \times 5 = 3 + 4 \times 5 = 3 + 20 = 23 ]

3. Calcul de la raison d'une suite arithmétique

Si la suite est arithmétique, la raison peut aussi être retrouvée par :

[ r = u_{n+1} - u_n ]

Pour vérifier qu’une suite est arithmétique, on peut calculer plusieurs différences consécutives.

4. Somme des termes d'une suite arithmétique

La somme des (n+1) premiers termes d'une suite arithmétique ((u_0, u_1, ..., u_n)) se calcule à l'aide de la formule:

[ S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2} ]

Si on écrit ( u_n ) en fonction de ( u_0 ) et ( r ), on peut aussi écrire :

[ S_n = \frac{(n+1)}{2} \left[ 2u_0 + n r \right] ]

Cette formule est très utile pour calculer rapidement la somme sans additionner terme par terme.

5. Propriétés importantes des suites arithmétiques

• La suite est strictement croissante si ( r > 0 )
• La suite est strictement décroissante si ( r < 0 )
• La suite est constante si ( r = 0 )

6. Application et exemple complet

Exemple pratique :

Une entreprise augmente régulièrement le salaire annuel de ses employés de 1500€ chaque année. Le salaire initial est de 30000€.

• Quel sera le salaire la 10ᵉ année ?
• Quelle somme aura été versée en salaires pendant ces 10 années ?

Solution :

• ( u_1 = 30000 ), ( r = 1500 )
• Salaire la 10ᵉ année:

[ u_{10} = u_1 + (10 - 1) \times 1500 = 30000 + 9 \times 1500 = 30000 + 13500 = 43500 ]

• Somme des salaires des 10 années :

[ S_{10} = \frac{10}{2} (u_1 + u_{10}) = 5 \times (30000 + 43500) = 5 \times 73500 = 367500 ]

7. Résumé sous forme de tableau

8. Diagramme Mermaid : Processus de vérification si une suite est arithmétique

[Diagramme]

Ce diagramme aide à comprendre l’étape nécessaire pour déterminer si une suite est arithmétique.

9. Liens entre concepts

• La raison est la clé pour toutes les propriétés de la suite arithmétique.
• Le terme général permet de calculer facilement chaque terme, sans avoir à calculer tous les termes précédents.
• La somme des termes est très utile pour les applications pratiques (ex : calcul de dépenses ou de recettes cumulées).
• La connaissance des variations (croissance, décroissance, constance) permet de mieux interpréter le comportement de la suite.

Synthèse

• Une suite arithmétique est une suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une raison constante au terme précédent.
• Le terme général peut s’écrire facilement en fonction du premier terme et de la raison.
• La somme des termes est un outil puissant pour additionner rapidement les termes de la suite.
• Les suites arithmétiques sont simples mais très présentes dans la vie quotidienne et dans diverses applications mathématiques.

N’hésitez pas à pratiquer avec différents exemples pour maîtriser ces notions essentielles !