Fiche de Révision : Le Théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore est un fondement essentiel en géométrie, particulièrement dans l’étude des triangles rectangles. C’est un outil clé pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle lorsque les deux autres sont connus. Ce théorème intervient dans de nombreux domaines, de la construction à la physique, en passant par les mathématiques plus avancées.

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

1. Définitions essentielles

Avant d’explorer le théorème, clarifions certains termes importants.

• Triangle rectangle : Trianglé possédant un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est le côté le plus long.
• Côtés de l’angle droit (cathètes) : Les deux autres côtés qui forment l’angle droit.

2. Énoncé du Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, si on note [Formule] et [Formule] les longueurs des deux cathètes, et [Formule] la longueur de l’hypoténuse, alors :

[Formule mathématique]

Ce qui signifie que la surface du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des surfaces des carrés construits sur les autres côtés.

3. Représentation géométrique

[Diagramme]

Ce triangle ABC est rectangle en C, avec :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule] (hypoténuse)

4. Exemple concret

Exemple 1 : Calcul de l’hypoténuse

Un triangle rectangle a ses côtés perpendiculaires mesurant 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?

On applique le théorème :

[Formule mathématique]

Donc :

[Formule mathématique]

Résultat : l’hypoténuse mesure 5 cm.

Exemple 2 : Calcul d’un côté connaissant l’hypoténuse

Le côté le plus long d’un triangle rectangle mesure 13 cm et un cathète mesure 5 cm. Trouve la longueur de l’autre cathète.

On note :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

Par le théorème :

[Formule mathématique]

Donc :

[Formule mathématique]

Résultat : l’autre cathète mesure 12 cm.

5. Application du théorème

Le théorème de Pythagore ne sert pas uniquement au calcul des longueurs dans un triangle rectangle.

• Vérification qu’un triangle est bien rectangle : Si pour trois longueurs [Formule] on a [Formule], alors ce triangle est rectangle avec [Formule] comme hypoténuse.
• Résolution de problèmes de distance en géométrie plane.
• Construction et mesures en architecture ou dans la vie courante.
• Base de concepts plus avancés en trigonométrie et géométrie analytique.

6. Extensions et liens avec d'autres notions

• Inverse du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, la longueur du plus grand côté au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

• Généralisation en dimension supérieure

Dans un espace à 3 dimensions, la distance entre deux points [Formule] et [Formule] est donnée par :

[Formule mathématique]

C’est la version généralisée du théorème de Pythagore.

7. Demonstration géométrique simplifiée

Une illustration classique de la preuve du théorème utilise des carrés construits sur chaque côté du triangle rectangle :

[Diagramme]

L’aire du carré sur [Formule] plus l’aire du carré sur [Formule] est égale à l’aire du carré sur [Formule].

8. Fiche récapitulative

Synthèse

• Le théorème de Pythagore s'applique uniquement dans un triangle rectangle.
• Ce théorème établit la relation fondamentale [Formule mathématique] reliant l’hypoténuse et les deux autres côtés.
• Il est très utilisé pour calculer des distances et pour vérifier la nature des triangles.
• Exemples simples mettent en évidence son efficacité et sa facilité d’utilisation.
• Il sert de base à de nombreuses notions mathématiques plus complexes, y compris dans l’espace à 3 dimensions.
• La maîtrise de ce théorème ouvre la porte à la trigonométrie et à la géométrie analytique.

Pour aller plus loin : exercice d’application

Exercice : Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-ce un triangle rectangle? Si oui, quel est son hypoténuse?

N’hésitez pas à refaire les calculs et pratiquer avec d’autres exemples pour bien maîtriser le théorème de Pythagore !