Fiche de révision : Mouvement du centre d'inertie

Introduction

Le mouvement du centre d’inertie est un concept fondamental en mécanique classique, particulièrement en dynamique des systèmes matériels. Il permet de simplifier l'étude du mouvement d'un système complexe en se focalisant sur un point unique, le centre d'inertie, représentant la "position moyenne" de la masse du système. Cette notion est cruciale pour comprendre la dynamique du système global, analyser les forces extérieures, et résoudre des problèmes physiques en cinématique et dynamique.

1. Définitions essentielles

Centre d'inertie (ou centre de masse, noté G) :
Le point unique d’un système matériel auquel on peut associer toute la masse du système, de telle sorte que la position de ce point représente la moyenne pondérée des positions des masses constituantes.

Dans un système de particules de masses [Formule] et positions [Formule], le centre d’inertie est défini par :

[Formule mathématique]

où [Formule] est la masse totale du système.

2. Propriétés du centre d'inertie

• Le centre d’inertie est un point fixe si le système est fixe, ou qui se déplace dans le cas d’un système en mouvement.
• Pour un solide homogène, c’est souvent le centre géométrique.
• Le centre d’inertie dépend uniquement de la répartition des masses, indépendamment de la nature des forces internes.

3. Équation du mouvement du centre d'inertie

La dynamique du système global peut s’étudier en appliquant la deuxième loi de Newton sur le centre d’inertie.

Considérons un système matériel soumis à des forces extérieures [Formule]. La somme des forces internes se compense.

Théorème :
La somme des forces extérieures appliquées à un système est égale à la masse totale du système multipliée par l’accélération du centre d’inertie.

En formule :

[Formule mathématique]

où [Formule] est l'accélération du centre d’inertie.

4. Vitesse et accélération du centre d'inertie

La vitesse [Formule] et l’accélération [Formule] sont les dérivées temporelles de la position du centre d'inertie :

[Formule mathématique]

[Formule mathématique]

Ces relations montrent que la vitesse et l’accélération du centre d’inertie sont la moyenne pondérée des vitesses et accélérations des particules.

5. Exemple concret : Chute libre d'un système matériel

Supposons un système de particules lâché en chute libre dans un champ gravitationnel uniforme [Formule]. Toutes les masses subissent la même accélération.

• Forces extérieures : la gravité sur chaque particule.
• Somme des forces extérieures : [Formule].
• D’après la loi du mouvement du centre d’inertie :

[Formule mathématique]

Le centre d'inertie tombe donc avec la même accélération que chaque particule (en négligeant la résistance de l’air). C’est une illustration directe de ce principe.

6. Liens avec la conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement totale du système est :

[Formule mathématique]

La quantité de mouvement totale est égale à la masse totale multipliée par la vitesse du centre d’inertie.

En l’absence de forces extérieures, la quantité de mouvement totale est constante, donc [Formule] est constante.

7. Étude schématique du mouvement du centre d’inertie

[Diagramme]

Ce diagramme montre la progression logique pour déterminer le mouvement global du système par l'étude du centre d'inertie.

8. Cas particulier : Système isolé

Si le système est isolé (aucune force extérieure), alors :

[Formule mathématique]

Le centre d’inertie a une vitesse constante ou reste au repos. Le système peut avoir des mouvements internes, mais le mouvement global du centre de masse reste rectiligne uniforme.

9. Application à la collision de corps

Dans une collision entre deux corps, la conservation de la quantité de mouvement concerne le centre d’inertie du système combiné.

• La trajectoire du centre d’inertie reste continue.
• Les forces internes (forces de contact) ne modifient pas le mouvement du centre d’inertie.

10. Synthèse - Points essentiels

Conclusion

Le mouvement du centre d'inertie est un outil puissant pour étudier le déplacement global d’un système matériel. En simplifiant un ensemble complexe de masses mobiles en un seul point représentatif, il permet d’appliquer aisément les principes fondamentaux de la mécanique, notamment la deuxième loi de Newton. La maîtrise de ce concept facilite la résolution des problèmes de dynamique, la compréhension de phénomènes tels que les collisions, ainsi que l’analyse des systèmes isolés.

N’hésitez pas à refaire ces calculs en considérant des systèmes variés (solides rigides, systèmes de particules, fluides) pour bien assimiler les propriétés du centre d’inertie et son rôle dans la mécanique.