Introduction aux Probabilités

Les probabilités constituent un cadre mathématique permettant de modéliser et d'analyser des phénomènes aléatoires, c’est-à-dire des expériences dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.

1. Éléments d'Analyse Combinatoire

L’analyse combinatoire est essentielle pour compter le nombre de résultats possibles dans une expérience aléatoire, ce qui est fondamental pour calculer des probabilités.

1.1 Listes

• Définition : Une liste est une suite ordonnée d’éléments où la répétition est autorisée.
• Exemple : Les listes de longueur 3 formées avec les chiffres {1,2} sont (1,1,1), (1,1,2), ..., (2,2,2).

1.2 Arrangements

• Définition : Un arrangement est une sélection ordonnée de k éléments distincts parmi n.
• Formule : ( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} )
• Exemple : Arrangements de 2 éléments parmi 3 (A, B, C) : AB, AC, BA, BC, CA, CB.

1.3 Factorielle

• Définition : Le factoriel de n, noté ( n! ), est le produit des entiers de 1 à n.
• Formule : ( n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1 ), avec ( 0! = 1 ).

1.4 Permutations

• Définition : Une permutation est un arrangement de tous les éléments d’un ensemble.
• Formule : Nombre de permutations de n éléments : ( n! ).
• Exemple : Permutations de {A, B, C} : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

1.5 Combinaisons

• Définition : Une combinaison est une sélection non ordonnée de k éléments parmi n.
• Formule : ( C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
• Exemple : Combinaisons de 2 éléments parmi 3 : {A,B}, {A,C}, {B,C}.

1.6 Binôme de Newton

• Formule : ( (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} ).
• Lien : Les coefficients binomiaux ( \binom{n}{k} ) correspondent au nombre de combinaisons.

2. Modèle Probabiliste d'une Expérience Aléatoire

2.1 Définitions Clés

Expérience aléatoire : expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude.

Univers ((\Omega)) : ensemble de tous les résultats possibles (issues) de l'expérience.

Événement : sous-ensemble de (\Omega).

• Exemple : Lancer un dé à 6 faces.
  • (\Omega = {1,2,3,4,5,6})
  • Événement A : "obtenir un nombre pair" = {2,4,6}.

3. Opérations sur les Événements

• Union ((A \cup B)) : événement "A ou B".
• Intersection ((A \cap B)) : événement "A et B".
• Complémentaire ((A^c)) : événement "non A".
• Événements incompatibles : (A \cap B = \emptyset).

4. Définition d'une Probabilité

Probabilité : application ( P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1] ) telle que :

• ( P(\Omega) = 1 )
• Pour toute famille d'événements disjoints ( (A_i) ), ( P\left(\bigcup_i A_i\right) = \sum_i P(A_i) ).

4.1 Propriétés Importantes

• ( P(\emptyset) = 0 )
• ( P(A^c) = 1 - P(A) )
• Si ( A \subset B ), alors ( P(A) \leq P(B) ).

5. Cas où (\Omega) est fini ou infini dénombrable

• Fini : (\Omega) a un nombre fini d’issues.
• Infini dénombrable : (\Omega) a un nombre infini mais dénombrable d’issues (ex : (\mathbb{N})).

6. Modèle Uniforme

Modèle uniforme : chaque issue a la même probabilité.

• Si (|\Omega| = n), alors pour tout ( \omega \in \Omega ), ( P({\omega}) = \frac{1}{n} ).
• Pour un événement ( A \subset \Omega ), ( P(A) = \frac{|A|}{n} ).

Exemple concret

Lancer un dé équilibré :

• ( \Omega = {1,2,3,4,5,6} )
• ( P({i}) = \frac{1}{6} )
• ( P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ).

Diagramme Mermaid : Relations entre concepts fondamentaux

[Diagramme]

Synthèse

• L’analyse combinatoire permet de compter les issues.
• L’univers (\Omega) regroupe toutes les issues possibles.
• Les événements sont des sous-ensembles de (\Omega).
• La probabilité est une fonction qui attribue un poids entre 0 et 1 à chaque événement.
• Le modèle uniforme est un cas simple où toutes les issues sont équiprobables.

Cette fiche pose les bases indispensables pour comprendre les probabilités, en insistant sur la combinatoire et la définition rigoureuse des événements et probabilités. La prochaine étape sera d’étudier la probabilité conditionnelle et l’indépendance, qui permettent d’analyser des événements liés.