Fiche de révision : Estimation par intervalle de confiance

Introduction

L’estimation par intervalle de confiance est une méthode statistique qui permet de déterminer un intervalle dans lequel une valeur inconnue, généralement un paramètre de la population, a de fortes chances de se situer. Contrairement à l’estimation ponctuelle (par exemple, une moyenne observée dans un échantillon), l’intervalle de confiance prend en compte la variabilité des données, offrant ainsi une indication sur la précision de l’estimation et le degré d’incertitude associé.

Cette méthode est largement utilisée dans tous les domaines où l’on souhaite inférer des propriétés d’une population à partir d’un échantillon, notamment en sciences sociales, en biologie, en économie, etc.

1. Concepts fondamentaux

1.1. Population et échantillon

• Population : Ensemble complet d’individus ou d’éléments étudiés.
• Échantillon : Sous-ensemble extrait de la population, utilisé pour réaliser des estimations.

1.2. Paramètre vs. statistique

• Paramètre : Valeur numérique fixe caractéristique de la population (exemple : moyenne µ, variance σ²).
• Statistique : Valeur numérique calculée sur l’échantillon (exemple : moyenne d’échantillon ( \bar{x} ), écart-type ( s )).

1.3. Estimation ponctuelle

• Une estimation ponctuelle fournit une seule valeur pour approcher le paramètre inconnu.

  Exemple : Si on mesure la taille moyenne d’un échantillon de 100 personnes, la moyenne ( \bar{x} = 170 ) cm est une estimation ponctuelle de la taille moyenne de la population.

Limite : cette estimation ne donne aucune information sur sa fiabilité.

1.4. Intervalle de confiance

Un intervalle de confiance est un intervalle calculé à partir des données d’un échantillon, qui, avec un certain niveau de confiance (ex : 95 %), contient la vraie valeur du paramètre populationnel.

• Le niveau de confiance est souvent noté (1 − α), où α est le risque d’erreur (ex : α = 0,05 pour un niveau de confiance de 95 %).
• L’intervalle donne une fourchette plausible pour le paramètre, tenant compte de la variabilité des données.

2. Construction d’un intervalle de confiance pour une moyenne

2.1. Cas d’une variance connue (distribution normale)

Soit un échantillon de taille n, avec une moyenne d’échantillon ( \bar{x} ), et une variance populationnelle σ² connue.

L’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne µ est :

[ \left[ \bar{x} - z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ; \quad \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right] ]

• ( z_{\frac{\alpha}{2}} ) est la valeur critique de la loi normale centrée réduite correspondant à α/2.
• Pour un niveau de confiance 95 %, ( z_{0.025} \approx 1.96 ).

2.2. Cas d’une variance inconnue (loi de Student)

Souvent, la variance σ² est inconnue et l’écart-type est estimé par ( s ).

L’intervalle devient :

[ \left[ \bar{x} - t_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} ; \quad \bar{x} + t_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right] ]

• ( t_{\frac{\alpha}{2}, n-1} ) est la valeur critique de la loi de Student à n − 1 degrés de liberté.
• Permet de prendre en compte la variabilité supplémentaire due à l’estimation de la variance.

3. Étapes pour calculer un intervalle de confiance

[Diagramme]

4. Explications détaillées

4.1. La marge d’erreur

La marge d’erreur (ME) représente la demi-largeur de l’intervalle de confiance :

[ \text{ME} = z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{(variance connue)} ] ou [ \text{ME} = t_{\frac{\alpha}{2}, n - 1} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \quad \text{(variance inconnue)} ]

Elle indique la distance maximale estimée entre l’estimation ponctuelle et le paramètre réel avec le niveau de confiance choisi.

4.2. Influence de la taille d’échantillon sur l’IC

• Plus l'échantillon est grand, plus la marge d’erreur diminue, car ( \frac{1}{\sqrt{n}} ) devient plus petit.
• Un plus grand échantillon donne un intervalle de confiance plus étroit donc une estimation plus précise.

4.3. Choix du niveau de confiance

• Un niveau de confiance plus élevé (ex : 99 %) implique un intervalle plus large.
• Un niveau plus faible (90 %) donne un intervalle plus étroit, moins sûr.

5. Exemple concret

Contexte : Une usine produit des ampoules dont la durée de vie suit une loi normale. On analyse un échantillon de 50 ampoules, avec une moyenne observée de durée de vie ( \bar{x} = 1200 ) heures et un écart-type d’échantillon ( s = 100 ) heures. L’écart-type de la population est inconnu.

Question : Quel est l’intervalle de confiance à 95 % pour la durée de vie moyenne ( \mu ) ?

5.1 Calcul

• Taille de l’échantillon : ( n = 50 )
• Moyenne de l’échantillon : ( \bar{x} = 1200 )
• Écart-type estimé : ( s = 100 )
• Degrés de liberté : 49
• Niveau de confiance : 95 % → ( t_{0.025,49} \approx 2.009 ) (valeur dans table t de Student)

[ \text{Marge d'erreur} = 2.009 \times \frac{100}{\sqrt{50}} \approx 2.009 \times 14.14 = 28.4 ]

L’intervalle de confiance est :

[ [1200 - 28.4 ; 1200 + 28.4] = [1171.6 ; 1228.4] ]

Interprétation : Avec un niveau de confiance de 95 %, la durée moyenne de vie des ampoules se situe entre 1171,6 et 1228,4 heures.

6. Estimation pour une proportion

Lorsqu’on estime une proportion ( p ) (ex : proportion de succès), la formule d’intervalle de confiance pour un grand échantillon est :

[ \left[ \hat{p} - z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} ; \quad \hat{p} + z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \right] ]

7. Liens entre les concepts

[Diagramme]

Ce diagramme montre que le paramètre inconnu est estimé à partir d’un échantillon via une statistique, puis grâce à la distribution et au niveau de confiance on construit un intervalle qui contiendra ce paramètre avec la probabilité correspondante.

8. Synthèse des points clés

Conclusion

L’estimation par intervalle de confiance est un outil essentiel pour quantifier l’incertitude liée à l’échantillonnage. Elle permet d’accompagner une estimation ponctuelle par une fourchette plausible, offrant ainsi des informations précieuses sur la précision et la fiabilité des résultats obtenus. Maîtriser cette notion est indispensable pour toute analyse statistique robuste et rigoureuse.

Si besoin, n’hésitez pas à approfondir avec des exercices d’application sur différents types d’estimation !