Fiche de Révision : Formules de Cinématique, Chute des Corps et Dynamique en Biomécanique (STAPS L2)

Introduction

La cinématique et la dynamique sont deux grandes branches de la mécanique qui étudient respectivement le mouvement des corps sans et avec prise en compte des causes (forces). En biomécanique, ces notions permettent de comprendre et d’analyser les mouvements humains, essentiels en STAPS (Sciences et Techniques des Activités Physiques et Sportives). Cette fiche concerne les formules fondamentales liées à la cinématique, la chute des corps et la dynamique appliquée à la biomécanique.

1. Formules de Cinématique

1.1. Définitions clés

Cinématique : étude des mouvements des objets sans considérer les causes (forces) qui les produisent.

Position (x, y, z) : localisation spatiale d’un point à un instant donné.

Vitesse (v) : variation de la position par unité de temps, indique la rapidité et la direction du mouvement.

Accélération (a) : variation de la vitesse par unité de temps.

1.2. Notions de base (Mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré)

Position : Notée (x(t)) en fonction du temps.
Vitesse moyenne : Calculée comme (\displaystyle v_m = \frac{x_{\text{fin}} - x_{\text{début}}}{t_{\text{fin}} - t_{\text{début}}})
Vitesse instantanée : Calculée comme la dérivée de la position par rapport au temps, approximée par (\displaystyle v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t})
Accélération moyenne : Calculée comme (\displaystyle a_m = \frac{v_{\text{fin}} - v_{\text{début}}}{t_{\text{fin}} - t_{\text{début}}})
Accélération instantanée : Calculée comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps, approchée par (\displaystyle a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t})

1.3. Mouvement uniformément accéléré (exemple fréquent en biomécanique)

Vitesse à l'instant (t) : (v = v_0 + a \times t)
Position à l'instant (t) : (x = x_0 + v_0 \times t + \frac{1}{2} \times a \times t^2)
Relation entre vitesses et déplacement : (v^2 = v_0^2 + 2 \times a \times (x - x_0))
(v_0) : vitesse initiale
(a) : accélération constante
(x_0) : position initiale

1.4. Exemple concret

Un sportif démarre à une vitesse nulle et accélère à (a = 2, m/s^2) pendant 3 secondes. Sa vitesse finale est calculée par :

(v = 0 + 2 \times 3 = 6, m/s)

Par ailleurs, la distance parcourue est calculée par :

(x = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 = 9, m)

2. Chute des Corps

2.1. Définitions clés

Chute libre : mouvement d’un corps soumis uniquement à la force de gravité, sans résistance de l’air.

Gravité : accélération due à la pesanteur, notée ( g \approx 9,81, m/s^2 ) sur Terre.

2.2. Mouvement sous l'effet de la pesanteur

Accélération constante vers le sol : (a = g)
Pour un corps lâché sans vitesse initiale ((v_0=0)), la vitesse à l'instant (t) est :
(v = g \times t)
La position selon l'axe vertical est :
(y = y_0 - \frac{1}{2} \times g \times t^2)

Le signe moins indique la direction vers le bas.

2.3. Temps et vitesse de chute

Temps pour atteindre une hauteur (h) :
(t = \sqrt{\frac{2 \times h}{g}})
Vitesse à l’impact :
(v = \sqrt{2 \times g \times h})

2.4. Exemple concret

Un ballon lâché d’une hauteur de 20 m :

Temps de chute calculé par :
(t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9,81}} \approx 2,02, s)
Vitesse juste avant l’impact calculée par :
(v = \sqrt{2 \times 9,81 \times 20} \approx 19,8, m/s)

3. Dynamique en Biomécanique

3.1. Définitions clés

Dynamique : étude des causes du mouvement, principalement des forces qui agissent sur un corps.

Force : interaction pouvant modifier l’état de mouvement d’un corps, mesurée en newtons (N).

Masse (m) : quantité de matière d’un corps, exprimée en kilogrammes (kg).

3.2. Lois fondamentales

Première loi de Newton (Inertie) : un corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme conserve son état si aucune force extérieure n'agit.
Deuxième loi de Newton (Fondamentale) :

La somme des forces appliquées à un corps est égale à sa masse multipliée par son accélération :
(\sum \vec{F} = m \times \vec{a})
Troisième loi de Newton : pour chaque action, il existe une réaction égale et opposée.

3.3. Applications en biomécanique

Lors de la course, les forces musculaires provoquent des accélérations du corps.
Les impacts au sol génèrent des forces de réaction, importantes pour l’étude des blessures.
L’analyse des forces permet d’optimiser la performance et prévenir les risques.

3.4. Exemple d’analyse dynamique simplifiée

Un sportif de 70 kg applique une force horizontale de 210 N pour accélérer. L’accélération est calculée par :

(a = \frac{F}{m} = \frac{210}{70} = 3, m/s^2)

3.5. Diagramme de forces simplifié

[Diagramme]

Ce diagramme montre les forces agissant sur un corps : la force musculaire, la gravité, et la force de réaction du sol qui permet l’équilibre.

4. Liens entre Cinématique, Chute des Corps et Dynamique

La cinématique décrit le comment du mouvement (position, vitesse, accélération).
La dynamique explique le pourquoi (forces, masse, accélération).
La chute des corps est un cas particulier de cinématique avec accélération due à la gravité, souvent analysée via la dynamique.
En biomécanique, on utilise ces concepts pour comprendre les mouvements des sportifs, adapter les entraînements, ou prévenir les blessures.