Développement – Factorisations et Identités Remarquables

Cette fiche de révision présente les bases du développement et de la factorisation en algèbre, en s’appuyant sur les identités remarquables. Vous y trouverez les méthodes pour transformer un produit en somme (développement), ainsi que pour transformer une somme en produit (factorisation), avec des exemples concrets et des outils visuels.

Introduction générale

Le développement et la factorisation sont deux opérations inverses fondamentales en algèbre. Le développement consiste à transformer un produit en somme, tandis que la factorisation permet d’écrire une somme ou une expression sous forme de produit. Ces techniques reposent souvent sur des formules appelées identités remarquables, qui simplifient les calculs et permettent de reconnaître rapidement certaines formes algébriques.

1. Développement : Transformer un produit en somme

1.1 Notions fondamentales : somme et produit

• Somme : addition de termes, par exemple [Formule].
• Produit : multiplication de termes, par exemple [Formule] ou [Formule].

L’opération qui se fait en dernier détermine la nature de l’expression (somme ou produit).

1.2 Produit du type [Formule] ou [Formule]

La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction :

[Formule mathématique]

Lors du développement, il faut réduire et ordonner les termes selon les puissances décroissantes.

Exemples :

[Formule mathématique]

1.3 Produit du type [Formule] (Double distributivité)

Pour tous nombres [Formule] :

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

1.4 Développement précédé d’un signe moins

Pour ouvrir une parenthèse précédée d’un signe moins, on change le signe de chaque terme à l’intérieur.

Exemples :

[Formule mathématique]

[Formule mathématique]

1.5 Illustration du développement

2. Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules algébriques qui permettent de développer ou factoriser rapidement certaines expressions.

2.1 Carré d'une somme

[Formule mathématique]

• [Formule] : carré du premier terme
• [Formule] : double produit
• [Formule] : carré du deuxième terme

Exemples :

[Formule mathématique]

Calcul mental : [Formule]

2.2 Carré d'une différence

[Formule mathématique]

Exemples :

[Formule mathématique]

Calcul mental : [Formule]

2.3 Produit de la somme par la différence

[Formule mathématique]

Exemples :

[Formule mathématique]

Calcul mental : [Formule]

3. Factorisation : Transformer une somme en produit

La factorisation consiste à écrire une expression sous forme d’un produit, souvent en reconnaissant une identité remarquable.

3.1 Rappel des identités remarquables fondamentales

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

Ces formules sont la clé pour factoriser rapidement certaines expressions algébriques.

3.2 Factorisation d’un trinôme carré parfait

Un trinôme de la forme [Formule] est un carré parfait.

Exemple 1 :

Soit [Formule].

• [Formule] et [Formule].
• Donc, [Formule mathématique]

Exemple 2 :

Soit [Formule].

• [Formule], [Formule], et [Formule].
• Donc, [Formule mathématique]

3.3 Factorisation par différence de carrés

Une expression de la forme [Formule] se factorise en [Formule].

Exemple :

Soit [Formule].

• [Formule], [Formule].
• Donc, [Formule mathématique]

3.4 Exercices de factorisation

Exercice 4 :

Factoriser [Formule].

• [Formule], [Formule].
• [Formule].
• C’est un trinôme carré parfait : [Formule mathématique]

3.5 Synthèse des méthodes de factorisation

3.6 Diagramme récapitulatif des techniques de factorisation

[Diagramme]

3.7 Illustration de la factorisation

Illustration des différentes étapes de factorisation avec mise en facteur, trinôme carré parfait et différence de carrés.

Conclusion : Points clés à retenir

• Le développement transforme un produit en somme grâce à la distributivité simple ou double.
• Les identités remarquables sont des formules clés pour développer ou factoriser rapidement : carré d’une somme, carré d’une différence, produit de la somme par la différence.
• La factorisation permet d’écrire une expression sous forme de produit, souvent en reconnaissant un trinôme carré parfait ou une différence de carrés.
• La maîtrise de ces techniques facilite le calcul, la simplification et la résolution d’équations algébriques.

Cette fiche vous donne les outils essentiels pour manipuler efficacement les expressions algébriques et préparer vos exercices de développement et factorisation. N’hésitez pas à pratiquer avec les exemples et exercices proposés pour bien intégrer ces notions.