Fiche de révision : Stabilité des constructions en béton armé

Introduction

La stabilité des constructions en béton armé est un enjeu fondamental en génie civil. Elle garantit que la structure supporte les charges sans déformation excessive, flambement ou rupture, assurant ainsi la sécurité et la durabilité. Cette fiche couvre les principes clés, définitions, concepts mécaniques, méthodes d’analyse, et formules essentielles pour comprendre et vérifier la stabilité.

1. Définitions essentielles

Stabilité : Capacité d’une structure à conserver sa géométrie initiale sous l'action des charges sans déplacements incontrôlés ou ruine.

Flambement : Défaillance d’un élément compressé, caractérisée par une déviation latérale progressive jusqu'à rupture.

Béton armé : Matériau composite constitué de béton (résistant en compression) et d'armatures en acier (résistant en traction).

Efforts internes : Contraintes induites dans une structure par les charges externes (compression, traction, flexion).

2. Principaux types d’instabilité en béton armé

• Flambement d’éléments comprimés (poteaux, voile)
• Pivots (rotation excessive des appuis ou joints)
• Instabilité globale (effondrement structural, déplacement d’ensemble)

Flambement d’un poteau comprimé

Le flambement survient quand les efforts de compression dépassent une valeur critique, souvent bien inférieure à la résistance pure de compression du matériau.

3. Analyse de la stabilité : concepts et critères

3.1. Effort normal et moment fléchissant

• Effort normal [Formule] : Force axiale dans un élément, positive en compression.
• Moment fléchissant [Formule] : Moment induisant une flexion.

L’interaction [Formule] est cruciale en béton armé.

3.2. Critère de stabilité (interaction)

La capacité de résistance est définie par la courbe d'interaction entre effort normal et moment fléchissant.

[Diagramme]

4. Formules clés dans la stabilité des éléments comprimés

4.1. Effort de flambement critique (Euler)

Pour une colonne articulée aux deux extrémités :

[Formule mathématique]

• [Formule] = module d'élasticité de la section (béton ou armature selon l’analyse)
• [Formule] = moment d’inertie de la section
• [Formule] = longueur efficace (tenue des appuis)

Remarque : Pour le béton armé, on utilise souvent un module d'élasticité équivalent prenant en compte l’armature.

4.2. Longueur efficace [Formule]

[Formule mathématique]

• [Formule] est un coefficient dépendant du type de liaison aux appuis (ex : [Formule] pour articulé, [Formule] pour encastré).

5. Diagramme d'interaction [Formule] simplifié

Cette courbe caractérise la limite de résistance en fonction des efforts normaux et moments appliqués.

[Diagramme]

Pour un élément comprimé :

• Si l'état [Formule] est dans la zone stable, la structure est stable.
• Si l'état dépasse la courbe, flambement ou rupture est possible.

6. Influence des armatures dans la stabilité

6.1. Rôle des armatures

• Résistance à la traction
• Contrôle des fissures
• Augmentation du moment de flexion ultime
• Amélioration de la ductilité

6.2. Vérification de la stabilité avec armatures

On réalise un bilan des contraintes :

• Contrainte dans le béton en compression : [Formule]
• Contrainte dans l’acier de traction : [Formule]

Formule de l'équilibre des efforts dans une section fléchie :

[Formule mathématique] [Formule mathématique]

• [Formule] : aire de béton comprimée
• [Formule] : surface d'acier en traction
• [Formule] : distance entre la face comprimée et l'armature tendue
• [Formule] : position du centre de compression
• [Formule] : distance de la force de compression à la fibre extrême

7. Protection contre la flambée : recommandations

• Détermination précise de la longueur efficace [Formule]
• Vérification des appuis et conditions d'encastrement
• Renforcement local des zones critiques
• Ajout d’armatures transversales pour limiter flambement local
• Réduction de la hauteur libre de flambement par contreventement

8. Exemple concret : calcul de flambement d’un poteau

• Poteau en béton armé de longueur ( L = 3,m )
• Liaisons articulées (donc [Formule])
• Moment d’inertie ( I = 8 \times 10^{-6} m^4 )
• Module d’élasticité béton ( E = 30 ,GPa = 3 \times 10^{10} ,Pa )

Calcul de l’effort critique :

[Formule mathématique]

[Formule mathématique]

9. Synthèse des points essentiels

10. Diagramme de synthèse du processus d’évaluation de stabilité

[Diagramme]

Conclusion

La stabilité des constructions en béton armé repose sur une bonne compréhension des interactions entre effort normal, moment fléchissant, et les propriétés mécaniques du béton et de l’acier. La maîtrise des formules telles que celle d’Euler pour le flambement, ainsi que la gestion des appuis et longueurs efficaces, est indispensable pour concevoir des ouvrages sûrs. L’utilisation d’armatures adéquates et la prévention par renforts contribuent à améliorer la stabilité globale.

Cette fiche vous offre les bases pour analyser et dimensionner des éléments en béton armé avec un souci constant de sécurité et de performance.

Bonnes révisions !