Fiche de Révision : Automatismes 1, 2, 4, 6, 8, 16, 17, 18, 20 en Mathématiques

Cette fiche de révision couvre les automatismes essentiels en mathématiques correspondant aux numéros 1, 2, 4, 6, 8, 16, 17, 18 et 20. Ces automatismes regroupent des notions fondamentales, des propriétés, des formules et des méthodes de calcul indispensables pour progresser dans la discipline.

Sommaire

1. Automatisme 1 : Les opérations sur les nombres entiers
2. Automatisme 2 : Les fractions - simplification et calculs
3. Automatisme 4 : Les puissances et leurs propriétés
4. Automatisme 6 : Calculs avec les racines carrées
5. Automatisme 8 : Résolution d’équations simples
6. Automatisme 16 : Les identités remarquables
7. Automatisme 17 : Factorisation d’expressions
8. Automatisme 18 : Calcul littéral et manipulation d’expressions
9. Automatisme 20 : Proportionnalité et pourcentages
10. Résumé et schéma des liens entre automatismes

Automatismes 1 : Les opérations sur les nombres entiers <a name="automatisme-1"></a>

Concepts clés

• Addition, soustraction, multiplication, division
• Priorités des opérations
• Propriétés des opérations (associativité, commutativité, distributivité)

Explications

• Addition et soustraction : Manipulation directe des entiers.
• Multiplication : Utilisation des tables de multiplication.
• Division euclidienne : Pour deux entiers [Formule] et [Formule], il existe deux entiers uniques [Formule] (quotient) et [Formule] (reste) tels que : [Formule mathématique]

Exemple

Calculer [Formule] puis multiplier le résultat par [Formule].

• [Formule]
• [Formule]

Automatismes 2 : Les fractions - simplification et calculs <a name="automatisme-2"></a>

Concepts clés

• Fraction comme quotient de deux entiers
• Simplification en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD
• Addition, soustraction, multiplication et division de fractions

Explications

• Simplification : [Formule] où [Formule]
• Addition : [Formule]
• Multiplication : [Formule]
• Division : [Formule]

Exemple

Calculer et simplifier : [Formule]

• [Formule]
• Simplification par 2 : [Formule]

Automatismes 4 : Les puissances et leurs propriétés <a name="automatisme-4"></a>

Concepts clés

• Puissance d’un nombre : [Formule] ([Formule] fois)
• Exposant zéro : [Formule] (pour [Formule])
• Puissance négative : [Formule]
• Propriétés :
  • [Formule]
  • [Formule]
  • [Formule]
  • [Formule]
  • [Formule]

Exemple

Calculer [Formule] et [Formule]

• [Formule]
• [Formule]

Automatismes 6 : Calculs avec les racines carrées <a name="automatisme-6"></a>

Concepts clés

• Racine carrée : [Formule] est le nombre positif tel que [Formule]
• Simplification des racines
• Propriétés :
  • [Formule]
  • [Formule]
  • [Formule]

Exemple

Simplifier [Formule]

• [Formule]
• [Formule]

Automatismes 8 : Résolution d’équations simples <a name="automatisme-8"></a>

Concepts clés

• Résolution d’équations du premier degré
• Isoler l’inconnue
• Vérification des solutions

Méthode générale

Pour une équation [Formule] :

1. Soustraire [Formule] de chaque côté : [Formule]
2. Diviser par [Formule] : [Formule]

Exemple

Résoudre [Formule]

• [Formule]
• [Formule]

Automatismes 16 : Les identités remarquables <a name="automatisme-16"></a>

Concepts clés

• Formules permettant de développer ou factoriser rapidement des expressions

Les principales identités :

1. [Formule]
2. [Formule]
3. [Formule]

Exemple

Développer [Formule]

• [Formule]

Automatismes 17 : Factorisation d’expressions <a name="automatisme-17"></a>

Concepts clés

• Mise en facteur commune
• Factorisation par regroupement
• Utilisation des identités remarquables

Méthodes

1. Facteur commun : [Formule]
2. Regroupement : [Formule]
3. Identités remarquables : Reconnaître une différence de carrés, par exemple

Exemple

Factoriser [Formule]

• [Formule]

Automatismes 18 : Calcul littéral et manipulation d’expressions <a name="automatisme-18"></a>

Concepts clés

• Simplification d’expressions algébriques
• Priorités de calcul
• Développement et réduction

Explications

• Développement : Appliquer la distributivité
• Réduction : Additionner ou soustraire les termes semblables

Exemple

Simplifier [Formule]

• [Formule]

Automatismes 20 : Proportionnalité et pourcentages <a name="automatisme-20"></a>

Concepts clés

• Définition de la proportionnalité : relation multiplicative constante entre deux grandeurs
• Calcul de pourcentages
• Augmentation et diminution en pourcentage

Formules

• Si [Formule] est proportionnel à [Formule], alors [Formule], où [Formule] est la constante de proportionnalité
• Pourcentage d’une quantité [Formule] : [Formule] de [Formule] = [Formule]
• Augmentation de [Formule] : nouvelle valeur = valeur initiale [Formule]
• Diminution de [Formule] : nouvelle valeur = valeur initiale [Formule]

Exemple

Un prix de 120 € augmente de 15%. Quel est le nouveau prix ?

• [Formule] €

Résumé des relations entre automatismes <a name="résumé"></a>

[Diagramme]

Citation importante :
"Maîtriser ces automatismes est la clé pour aborder sereinement des problèmes mathématiques plus complexes."

Conclusion

Cette fiche vous permet de renforcer vos bases en mathématiques à travers des automatismes essentiels. En maîtrisant ces notions et techniques, vous gagnerez en rapidité et en efficacité dans vos calculs et résolutions de problèmes.

Annexes : Exercices d’entraînement

Exercice 1 (Automatisme 2)

Simplifier puis calculer : [Formule]

Exercice 2 (Automatisme 16)

Développer et réduire : [Formule]

Exercice 3 (Automatisme 20)

Une population augmente de 8% puis diminue de 5%. Quel est le taux global d’évolution ?

N’hésitez pas à revenir sur chaque section pour approfondir les notions ou faire des exercices supplémentaires. Bonne révision !