Chapitre 4 : L’échelle ordinale

L’échelle ordinale est un type d’échelle de mesure utilisée pour des variables catégorielles dont les modalités peuvent être ordonnées selon un critère logique. Contrairement à une variable nominale où l’ordre des modalités n’a pas de sens, une variable ordinale présente une hiérarchie entre ses modalités, ce qui permet une analyse plus fine des données.

1. Introduction à l’échelle ordinale

Une variable ordinale se caractérise par des modalités rangées selon un ordre précis. Par exemple, dans une enquête menée auprès de 11 étudiants sur leur avis concernant une unité d’enseignement (UE) de statistiques, les réponses sont codées de A à F, où :

• A : absolument passionnant
• B, C, D, E : degrés intermédiaires
• F : pas du tout passionnant

Ici, les modalités sont ordonnées de A à F, ce qui donne une échelle ordinale. Le codage respecte cet ordre, ce qui est essentiel pour l’analyse statistique et la représentation graphique des données @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

2. Description et traitement des données ordinales

2.1 Distribution des effectifs et modes

Pour décrire une variable ordinale, on commence par établir la distribution des effectifs pour chaque modalité ordonnée. Par exemple :

• Mode absolu : modalité avec l’effectif le plus élevé (ici, A avec 4).
• Mode relatif : modalité dont l’effectif est supérieur à celui de ses voisines (ici, D avec 2).

Ces modes permettent de repérer les concentrations de réponses et d’interpréter la tendance générale de la distribution @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

2.2 Recodage par rangs

Le recodage par rangs consiste à ordonner les observations selon leur position dans l’échelle ordinale. Par exemple, les observations ordonnées :

A A A A B B B C D D F

se voient attribuer des rangs, en gérant les ex aequo par le rang moyen. Cette méthode facilite le traitement statistique des données ordinales.

2.3 Transformation en variable dichotomique (dichotomie)

Une transformation courante est la dichotomie, qui consiste à couper l’échelle ordinale en deux groupes distincts. Par exemple, en coupant entre B et C, on obtient :

• Groupe 1 : « très passionnant » (modalités A et B)
• Groupe 2 : « peu passionnant » (modalités C, D, E, F)

On note cette coupure ((B \mid C)). Les effectifs cumulés à gauche et à droite de cette coupure sont respectivement :

[ \operatorname{Ng}(B \mid C) = 7, \quad \operatorname{Nd}(B \mid C) = 4 ]

Ce qui signifie que 7 étudiants ont un avis très passionnant et 4 un avis peu passionnant.

Les fréquences cumulées associées sont :

[ F_g(B \mid C) = \frac{7}{11} = 0,636 \quad (63,6%), \quad F_d(B \mid C) = \frac{4}{11} = 0,364 \quad (36,4%) ]

Ces calculs permettent une analyse plus synthétique et une meilleure compréhension des données ordinales @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

Diagramme : Processus d’analyse d’une variable ordinale

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3. Coupures, effectifs cumulés et fonctions associées

3.1 Coupures et effectifs cumulés

Une coupure ((B \mid C)) divise la distribution ordonnée en deux groupes. Les effectifs cumulés à gauche (\operatorname{Ng}(B \mid C)) et à droite (\operatorname{Nd}(B \mid C)) sont calculés en sommant les effectifs des modalités respectives.

La relation suivante est toujours vérifiée :

[ \operatorname{Ng}(B \mid C) + \operatorname{Nd}(B \mid C) = N ]

où (N) est le nombre total d’observations.

Les fréquences cumulées associées sont :

[ F_g(B \mid C) = \frac{\operatorname{Ng}(B \mid C)}{N}, \quad F_d(B \mid C) = \frac{\operatorname{Nd}(B \mid C)}{N} ]

Ces notions sont essentielles pour analyser la répartition des observations selon l’ordre des modalités @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

3.2 Fonctions des effectifs cumulés

• Fonction des effectifs cumulés à gauche : somme progressive des effectifs des modalités ordonnées de gauche à droite.
• Fonction des effectifs cumulés à droite : somme progressive des effectifs en partant de la droite.

Ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite (y = \frac{N}{2}) et se croisent sur cet axe. Ce point d’intersection correspond à l’échelon médian, qui partage la distribution en deux groupes équilibrés @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

Diagramme : Coupure et effectifs cumulés

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4. Valeurs typiques dans une variable ordinale

4.1 Médiane et quasi-médiane

• Échelon médian : modalité qui partage la distribution en deux groupes équilibrés, avec autant d’observations à gauche qu’à droite. Par exemple, dans une distribution de 11 observations, l’échelon B est médian car il y a 4 observations à gauche (modalité A) et 4 à droite (modalités C, D, E) @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

• Coupure quasi-médiane : lorsque la coupure médiane ne correspond pas exactement à une modalité, on parle de quasi-médiane, qui est la coupure la plus équilibrée possible entre les deux groupes. Par exemple, la coupure ((B \mid C)) peut être une quasi-médiane si la fréquence cumulée à gauche est proche de 0,5.

4.2 Mode et médiane

La valeur typique d’une variable ordinale se détermine à partir du mode et de la médiane. Dans le cas d’une distribution bimodale où mode et médiane diffèrent, il n’y a pas de valeur typique unique.

4.3 Regroupements par quantiles

Pour simplifier l’analyse, on peut regrouper les données en classes équilibrées, par exemple :

• Deux groupes : observance élevée et basse
• Trois groupes homogènes : observance élevée, moyenne, réduite

Ces regroupements reposent sur des coupures appelées quantiles, comme les quantiles d’ordre (1/3) et (2/3), notées (x_{1/3}) et (x_{2/3}) @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

Diagramme : Médiane et regroupement

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5. Application : situer un individu dans une distribution ordinale

En psychométrie, il est essentiel de situer un individu dans une distribution ordinale pour comparer son score à celui du groupe d’appartenance. Cette démarche repose sur les quantiles et les fréquences cumulées.

Exemple

Considérons un individu avec un niveau d’observance égal à 3 dans un échantillon de 229 individus :

• 68 individus (29,7 %) ont une observance strictement inférieure à 3.
• 99 individus (43,2 %) ont une observance inférieure ou égale à 3.
• 130 individus (56,8 %) ont une observance strictement supérieure à 3.
• 161 individus (70,3 %) ont une observance supérieure ou égale à 3.

Cette double lecture (en dessous et au-dessus de la valeur 3) permet de comprendre la position relative de l’individu dans la distribution ordinale, en tenant compte des proportions d’observations situées à gauche et à droite de sa valeur @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

Diagramme : Position d’un individu dans la distribution

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6. Analyse d’une variable ordinale en fonction d’une variable indépendante catégorielle

Le chapitre 4 illustre également l’analyse d’une variable ordinale (observance) en fonction d’une variable indépendante dichotomique (type de maladie : grippe ou hépatite). L’objectif est de comparer les comportements des patient.e.s selon leur maladie, en utilisant des mesures typiques adaptées aux variables ordinales, telles que le mode et la médiane.

Résultats observés

• Groupe grippe :

  • Mode (MoG) = 2
  • Médiane (VTG) = 2
  • Observance plutôt faible

• Groupe hépatite :

  • Mode principal (MoH) = 9
  • Médiane (X1/2;H) = 7
  • Observance globalement plus élevée

La variable « maladie » explique ainsi la forme bimodale observée dans la distribution globale.

Risque relatif (RR)

Le risque relatif d’avoir une observance stricte (valeur 9) est calculé :

[ f_G(9) = 0,01, \quad f_H(9) = 0,34 ]

Le risque relatif (RR_{H/G}) est donc :

[ RR_{H/G} = \frac{0,34}{0,01} = 34 ]

Ce qui souligne un effet important de la maladie sur l’observance.

Coupure quasi-médiane (4|5)

En comparant les groupes par rapport à la coupure quasi-médiane (4|5) de la distribution marginale :

• Groupe grippe : 92,6 % des individus ont une observance inférieure à cette coupure.
• Groupe hépatite : 70,1 % ont une observance supérieure.

Ces différences sont confirmées par des diagrammes en barres des fréquences conditionnelles et des fonctions cumulées. Le diagramme en barres du groupe grippe est plus à gauche que celui du groupe hépatite, indiquant une observance moindre. De même, la courbe cumulée du groupe grippe est au-dessus de celle du groupe hépatite, ce qui signifie que la distribution de l’observance est plus à gauche (moins élevée) pour le groupe grippe.

Conclusion

L’ensemble des analyses (modes, médianes, coupure médiane, diagrammes en barres, fonctions cumulées) montre que les patient.e.s atteint.e.s de grippe ont tendance à avoir une observance plus faible que ceux.lles atteint.e.s d’hépatite. La variable « maladie » est donc un facteur explicatif important de la variation de l’observance dans cette population @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.

Diagramme : Analyse de l’observance selon le type de maladie

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7. Points clés à retenir

• Une variable ordinale comporte des modalités ordonnées, ce qui permet une analyse respectant la hiérarchie des réponses.
• La distribution des effectifs, les modes (absolu et relatif), et le recodage par rangs sont des outils essentiels pour décrire une variable ordinale.
• La dichotomie (coupure) permet de simplifier l’analyse en regroupant les modalités en deux groupes.
• Les effectifs cumulés et les fréquences cumulées à gauche et à droite d’une coupure sont fondamentaux pour comprendre la répartition des données.
• La médiane et la quasi-médiane sont des valeurs typiques qui partagent la distribution en groupes équilibrés.
• En psychométrie, situer un individu dans une distribution ordinale via les quantiles et les fréquences cumulées facilite l’interprétation des scores.
• L’analyse conjointe d’une variable ordinale avec une variable indépendante catégorielle permet de mettre en évidence des différences significatives, comme l’effet de la maladie sur l’observance.
• Le risque relatif est un indicateur utile pour quantifier l’effet d’une variable indépendante sur une variable ordinale.

Cette méthodologie rigoureuse garantit une exploitation optimale des données ordinales, en respectant leur nature spécifique et en facilitant leur interprétation statistique @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf @doc511 CHAP 4 Echelle ordinale .pdf.