Fiche de Révision : Le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) en Mathématiques

Introduction

Le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) de deux nombres entiers est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en arithmétique et en théorie des nombres. Il permet de déterminer le plus grand entier qui divise deux nombres sans laisser de reste. Cette notion est essentielle pour simplifier des fractions, résoudre des problèmes liés aux multiples et diviseurs, et pour comprendre des algorithmes mathématiques comme l'algorithme d'Euclide.

1. Définition du PGCD

Le PGCD de deux entiers naturels [Formule] et [Formule] (avec [Formule]) est le plus grand entier [Formule] tel que :

• [Formule] divise [Formule] (noté [Formule]),
• [Formule] divise [Formule] (noté [Formule]).

Formellement :

[Formule mathématique]

2. Propriétés du PGCD

• Commutativité : [Formule]
• Associativité : [Formule]
• Relation avec le produit : [Formule], où [Formule] est le plus petit multiple commun.
• Si [Formule] divise [Formule], alors [Formule].
• Le PGCD de deux nombres premiers entre eux est 1.

3. Méthodes pour calculer le PGCD

3.1. Par la liste des diviseurs

Cette méthode consiste à :

1. Lister tous les diviseurs de [Formule].
2. Lister tous les diviseurs de [Formule].
3. Identifier les diviseurs communs.
4. Prendre le plus grand.

Exemple :

Calculons [Formule].

• Diviseurs de 24 : [Formule]
• Diviseurs de 36 : [Formule]
• Diviseurs communs : [Formule]
• PGCD = 12

3.2. Par la décomposition en facteurs premiers

On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on multiplie les facteurs communs avec leurs plus petits exposants.

Exemple :

Calculons [Formule].

• [Formule]
• [Formule]

Les facteurs premiers communs sont [Formule] et [Formule].

• Plus petit exposant pour [Formule] : [Formule]
• Plus petit exposant pour [Formule] : [Formule]

Donc :

[Formule mathématique]

3.3. Par l'algorithme d'Euclide (méthode la plus efficace)

L'algorithme d'Euclide utilise la division euclidienne répétée. Il repose sur la propriété suivante :

[Formule]

L'algorithme s'arrête lorsque le reste devient nul.

Procédure :

• On pose [Formule], [Formule].
• Calcule [Formule].
• Tant que [Formule], on remplace [Formule], [Formule] et calcule [Formule].
• Le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple :

Calculons [Formule].

• [Formule] (reste [Formule])
• [Formule] (reste [Formule])
• [Formule] (reste [Formule])
• [Formule] (reste [Formule])

Donc, [Formule].

Diagramme de l'algorithme d'Euclide

[Diagramme]

4. Applications du PGCD

4.1. Simplification de fractions

Pour simplifier une fraction [Formule], on divise le numérateur et le dénominateur par [Formule].

Exemple :

Simplifier [Formule].

• [Formule]
• [Formule]

4.2. Problèmes de partage et de découpage

Le PGCD permet de résoudre des problèmes où l’on veut partager ou découper des objets en parts égales sans reste.

Exemple :

On a des baguettes de 24 cm et 36 cm, on veut les couper en morceaux de même longueur maximale sans reste.

• La longueur maximale est le PGCD de 24 et 36, soit 12 cm.

4.3. Calcul du PPCM (Plus Petit Commun Multiple)

Le PGCD est étroitement lié au PPCM par la relation :

[Formule mathématique]

5. Le PGCD dans les nombres négatifs et zéro

• Pour tout entier [Formule], [Formule].
• Le PGCD est toujours un nombre positif ou nul.
• Pour des entiers négatifs, on prend la valeur absolue.

6. Exercices pratiques

1. Calculer [Formule] par décomposition en facteurs premiers.
2. Trouver le PGCD de [Formule] et [Formule] avec l’algorithme d’Euclide.
3. Simplifier la fraction [Formule].
4. Deux fils mesurent 84 cm et 126 cm, trouver la plus grande longueur possible pour couper ces fils en morceaux égaux sans reste.

7. Résumé et points clés

• Le PGCD est le plus grand entier divisant deux nombres sans reste.
• Il peut être calculé par la liste des diviseurs, la décomposition en facteurs premiers ou l’algorithme d’Euclide.
• L’algorithme d’Euclide est le plus efficace et le plus utilisé.
• Le PGCD est essentiel pour simplifier des fractions et résoudre des problèmes pratiques.
• La relation entre PGCD et PPCM est importante pour de nombreux calculs.

Citation importante :
"L'algorithme d'Euclide est l'un des plus anciens algorithmes connus, toujours utilisé aujourd'hui pour son efficacité à calculer le PGCD."

Fin de la fiche de révision

N’hésitez pas à refaire les exercices et à pratiquer l’algorithme d’Euclide pour bien maîtriser ce concept fondamental !