Fiche de Révision : Puissances et Puissances de Dix

Introduction

Les puissances jouent un rôle fondamental en mathématiques, notamment pour simplifier l’écriture de grands nombres ou très petits, et pour effectuer des calculs plus aisément. Parmi les puissances, les puissances de dix sont particulièrement importantes car elles interviennent dans la notation scientifique et dans la compréhension des ordres de grandeur.

1. Définitions et Notations de Base

1.1. Qu’est-ce qu’une puissance ?

Une puissance est une opération mathématique qui consiste à multiplier un nombre par lui-même un certain nombre de fois. Si [Formule] est un nombre réel et [Formule] un entier naturel, la puissance de [Formule] élevée à [Formule] s’écrit :

[Formule mathématique]

• [Formule] est la base.
• [Formule] est l’exposant.

1.2. Cas particulier : la puissance de dix

La puissance de dix est une puissance où la base est 10 :

[Formule mathématique]

2. Propriétés des puissances

2.1. Multiplication de puissances de même base

Pour tout nombre réel [Formule] et pour tous entiers [Formule] et [Formule] :

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

2.2. Division de puissances de même base

Pour [Formule] :

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

2.3. Puissance d'une puissance

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

2.4. Puissance d’un produit

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

3. Puissances de dix : applications et propriétés particulières

3.1. Puissances de dix pour représenter des grands nombres

Les puissances de dix permettent d’écrire de très grands nombres de façon concise.

• [Formule]
• [Formule] (un million)
• [Formule] (un milliard)

Exemple :

[Formule mathématique]

3.2. Puissances de dix pour représenter des petits nombres (négatifs)

Les puissances de dix avec exposants négatifs représentent des nombres décimaux très petits.

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

4. Notation scientifique

La notation scientifique est une manière d'écrire un nombre sous la forme :

[Formule mathématique]

où :

• [Formule] (le coefficient),
• [Formule] est un entier relatif (l’exposant).

4.1. Pourquoi utiliser la notation scientifique ?

• Pour simplifier la lecture et l’écriture de très grands ou très petits nombres.
• Pour faciliter les calculs, notamment en physique, chimie, et sciences.

4.2. Exemples de notation scientifique

• [Formule]
• [Formule]

5. Exercices d’application

5.1. Simplifier les expressions suivantes

1. [Formule]
2. [Formule]
3. [Formule]
4. [Formule]
5. Convertir [Formule] en notation scientifique.

Solutions

1. [Formule]
2. [Formule]
3. [Formule]
4. [Formule]
5. [Formule]

6. Puissances et écriture décimale

6.1. Déplacement de la virgule avec les puissances de dix

Multiplier un nombre par [Formule] déplace la virgule de [Formule] rangs vers la droite si [Formule].

Division par [Formule] déplace la virgule de [Formule] rangs vers la gauche.

Exemples :

• [Formule]
• [Formule]

7. Diagramme récapitulatif des propriétés des puissances

[Diagramme]

8. Résumé

• Une puissance est une multiplication répétée d’un même nombre.
• Les propriétés des puissances facilitent les calculs (multiplication, division, puissance d’une puissance).
• Les puissances de dix sont essentielles pour écrire rapidement de grands nombres ou des nombres très petits.
• La notation scientifique utilise les puissances de dix pour exprimer tout nombre sous une forme normalisée.
• Comprendre le déplacement de la virgule avec les puissances de dix est fondamental pour la manipulation des nombres décimaux.

À retenir :
Les puissances de dix sont omniprésentes en sciences et en mathématiques pour exprimer des ordres de grandeur et pour simplifier les calculs. Maîtriser leurs propriétés est indispensable pour réussir en calcul numérique.

9. Pour aller plus loin

• Étudier les puissances avec exposants fractionnaires (racines).
• Apprendre la notation scientifique avec des nombres complexes.
• Utiliser les puissances dans les fonctions exponentielles et logarithmes.

Cette fiche vous offre les bases solides pour comprendre et manipuler les puissances, en particulier les puissances de dix. N’hésitez pas à pratiquer avec des exercices variés pour bien intégrer ces concepts !