Fiche de Révision : Théorème de Thalès pour le Brevet

Introduction

Le théorème de Thalès est un outil fondamental en géométrie, particulièrement au niveau du brevet des collèges. Il permet de calculer des longueurs dans des figures comportant des droites parallèles et des segments qui se coupent. Ce théorème est très utilisé dans les exercices de géométrie pour démontrer des égalités de rapports ou pour trouver des mesures inconnues.

1. Énoncé du Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès concerne deux droites parallèles coupées par deux ou plusieurs droites sécantes. Voici l'énoncé classique :

Si deux droites sont parallèles, alors les segments qu’elles interceptent sur deux droites sécantes sont proportionnels.

Formulation mathématique

Soient deux droites parallèles [Formule] et [Formule], coupées par deux droites sécantes qui se croisent en un point [Formule]. Soient [Formule] et [Formule] deux points sur la première droite, et [Formule] et [Formule] des points respectivement sur la deuxième droite, tels que :

• [Formule] et [Formule] sont alignés sur une droite passant par [Formule],
• [Formule] et [Formule] sont alignés sur une autre droite passant par [Formule],
• [Formule].

Alors, on a la proportion suivante :

[Formule mathématique]

Attention : Les segments doivent être pris dans le même ordre et dans le même sens.

2. Hypothèses nécessaires

Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut vérifier que :

• Les droites [Formule] et [Formule] sont parallèles.
• Les points [Formule], [Formule], [Formule] sont alignés.
• Les points [Formule], [Formule], [Formule] sont alignés.
• Les segments sont pris dans le même ordre (ex : [Formule] et [Formule], [Formule] et [Formule]).

3. Conséquences et utilisations

3.1. Calcul de longueur inconnue

Le théorème permet de calculer une longueur manquante dans une figure géométrique où des droites parallèles coupent des segments.

3.2. Démonstration de proportionnalité

Il sert aussi à montrer que certains segments sont proportionnels, ce qui peut être utile pour prouver des égalités dans des figures complexes.

4. Exemple concret

Exercice

Sur la figure ci-dessous, les droites [Formule] et [Formule] sont parallèles. Les points [Formule], [Formule], [Formule] sont alignés, ainsi que les points [Formule], [Formule], [Formule]. On sait que :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

Calculer la longueur [Formule].

Solution

D’après le théorème de Thalès :

[Formule mathématique]

On remplace par les valeurs connues :

[Formule mathématique]

On résout par produit en croix :

[Formule mathématique]

[Formule mathématique]

[Formule mathématique]

5. Réciproque du Théorème de Thalès

La réciproque est aussi importante :

Si les rapports de longueurs sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Plus précisément, si dans une figure on a :

[Formule mathématique]

alors les droites [Formule] et [Formule] sont parallèles.

6. Cas particuliers et variantes

6.1. Cas avec trois droites parallèles

Lorsque plusieurs droites parallèles sont coupées par deux droites sécantes, les segments correspondants sur ces droites sont proportionnels. Par exemple, avec trois droites parallèles [Formule], [Formule], [Formule] coupées par deux droites sécantes passant par [Formule], on a :

[Formule mathématique]

6.2. Théorème de Thalès dans un triangle

Dans un triangle, si une droite parallèle à un côté coupe les deux autres côtés, alors elle détermine des segments proportionnels sur ces côtés.

7. Illustration Mermaid : Structure conceptuelle

[Diagramme]

8. Conseils pour le brevet

• Vérifiez toujours les hypothèses ! Ne jamais appliquer le théorème sans s’assurer que les droites sont parallèles et que les points sont alignés.
• Identifiez clairement les points sur le schéma et placez-les dans le bon ordre dans les rapports.
• Utilisez toujours le produit en croix pour résoudre les équations.
• N’hésitez pas à tracer la figure proprement pour mieux visualiser les segments et les parallèles.
• Apprenez à reconnaître les situations où la réciproque s’applique, souvent demandée au brevet.

9. Résumé

10. Exercices d'entraînement

1. Sur un dessin, on a [Formule], avec [Formule], [Formule], [Formule]. Trouver [Formule].

2. Dans un triangle [Formule], une droite [Formule] est parallèle à [Formule] et coupe [Formule] en [Formule] et [Formule] en [Formule]. Si [Formule], [Formule], [Formule], calculer [Formule].

3. Sur un segment [Formule], on place un point [Formule]. Sur un autre segment [Formule], on place un point [Formule]. On sait que [Formule], [Formule], [Formule], [Formule]. Si [Formule], calculer [Formule].

Citation importante :
"Le théorème de Thalès est l'un des premiers outils puissants pour comprendre les relations de proportionnalité en géométrie."

FIN de la fiche de révision

Si tu souhaites, je peux également te générer des exercices corrigés détaillés ou des fiches sur des théorèmes liés.