Fiche de Révision : Vecteurs, droites et plans de l'espace

I) Vecteurs de l'espace

1. Définition et caractéristiques d’un vecteur dans l’espace

Un vecteur de l’espace est une notion géométrique qui étend celle des vecteurs en géométrie plane à l’espace à trois dimensions.

• Soit un couple de points [Formule] dans l’espace.
• Le vecteur [Formule] est associé à la translation qui transforme le point [Formule] en [Formule].

Caractéristiques d’un vecteur [Formule]

• Direction : celle de la droite [Formule].
• Sens : de [Formule] vers [Formule].
• Norme (ou longueur) : notée [Formule], égale à la distance [Formule].

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont :

• la même direction,
• le même sens,
• la même norme.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les vecteurs [Formule] et [Formule] sont égaux au vecteur [Formule].

Propriété d’égalité des vecteurs via un parallélogramme

Deux vecteurs [Formule] et [Formule] sont égaux si et seulement si les points [Formule] forment un parallélogramme (éventuellement aplati).

Cela signifie que pour que [Formule], les segments [Formule] et [Formule] doivent être parallèles, de même longueur, et orientés dans le même sens.

2. Somme de deux vecteurs

2.1 Relation de Chasles

La somme de deux vecteurs [Formule] et [Formule] peut se calculer en utilisant la relation de Chasles :

[Formule mathématique]

Cette relation signifie que la translation qui va de [Formule] à [Formule] puis de [Formule] à [Formule] est équivalente à la translation directe de [Formule] à [Formule].

2.2 Règle du parallélogramme

La somme de deux vecteurs [Formule] et [Formule] issus du même point [Formule] est donnée par la règle du parallélogramme.

Si [Formule] est un point tel que les points [Formule] forment un parallélogramme, alors :

[Formule mathématique]

Cette construction permet de visualiser la somme des vecteurs comme la diagonale du parallélogramme construit à partir des vecteurs [Formule] et [Formule].

3. Produit d’un vecteur par un réel

Soit [Formule] (réel non nul) et [Formule] un vecteur non nul. Le vecteur [Formule] est défini par :

• Il a la même direction que [Formule].
• Si [Formule], alors [Formule] a le même sens que [Formule].
• Si [Formule], alors [Formule] a le sens opposé à [Formule].
• Sa norme est donnée par : [Formule mathématique]

4. Colinéarité de vecteurs

Définition

Deux vecteurs non nuls [Formule] et [Formule] sont dits colinéaires s’ils ont la même direction.

Autrement dit, il existe un réel [Formule] tel que :

[Formule mathématique]

Propriété géométrique liée à la colinéarité

Quatre points distincts [Formule] de l’espace sont considérés.

• Les points [Formule] sont alignés si et seulement si les vecteurs [Formule] et [Formule] sont colinéaires.

Ce critère est utilisé pour vérifier l’alignement de points dans l’espace en analysant la relation entre vecteurs issus d’un même point.

Résumé des notions clés

[Diagramme]

Cette fiche détaille les bases essentielles des vecteurs dans l’espace, leurs propriétés, ainsi que les opérations de somme et de multiplication par un scalaire. Elle constitue un socle fondamental pour aborder les notions géométriques plus complexes liées aux droites et plans dans l’espace.