Fiche de Révision : Calcul des Limites avec Formes Indéterminées et leurs Solutions

Introduction

Le calcul des limites est une notion fondamentale en analyse mathématique, crucial pour l’étude des fonctions, en particulier lorsqu’elles tendent vers des points où elles ne sont pas définies directement. Lorsqu’on calcule une limite, il arrive souvent de rencontrer des expressions qui prennent des formes indéterminées, c’est-à-dire des expressions dont la limite ne peut être déduite directement sans manipulation.

Cette fiche explicative est dédiée au calcul des limites avec formes indéterminées et aux méthodes efficaces pour les résoudre. Le but est de comprendre ces formes, de les reconnaître, puis d’appliquer les techniques adéquates pour déterminer la limite recherchée.

1. Notion de limite et formes indéterminées

1.1 Définition de la limite

Limite : Soit une fonction [Formule] définie sur un intervalle avec une valeur [Formule] (finie ou infinie). On dit que la limite de [Formule] quand [Formule] tend vers [Formule] est [Formule], si [Formule] se rapproche arbitrairement de [Formule] pour autant que [Formule] soit suffisamment proche de [Formule] (mais [Formule]).

On note cela :
[Formule mathématique]

1.2 Formes indéterminées — Qu'est-ce que c'est ?

Lors d’un calcul de limite, certaines expressions ne permettent pas d’identifier clairement la limite par substitution directe. On parle alors de formes indéterminées.

Les formes indéterminées classiques sont :

Remarque : Ces formes ne donnent aucune information sur la limite réelle – elle peut être finie, infinie, voire ne pas exister.

2. Principales méthodes de résolution

2.1 Simplification et factorisation

La simplification consiste à transformer l’expression pour éliminer la forme indéterminée.

Exemple :

[Formule mathématique]

On factorise le numérateur :

[Formule mathématique]

Puis on simplifie par [Formule] (pour [Formule]):

[Formule mathématique]

On calcule la limite :

[Formule mathématique]

2.2 Rationalisation

Utile pour traiter les expressions du type [Formule].

Exemple :

[Formule mathématique]

On multiplie et divise par la conjugée :

[Formule mathématique]

Or [Formule] quand [Formule].

Donc :
[Formule mathématique]

2.3 Utilisation de la règle de l’Hôpital

Règle de l’Hôpital : Si la limite [Formule] donne une forme indéterminée [Formule] ou [Formule], on peut alors écrire

[Formule mathématique]

… si cette dernière limite existe (ou tend vers [Formule] ou [Formule]).

Exemple :

Calculer :

[Formule mathématique]

Substitution directe : [Formule] => forme indéterminée.

Calcul des dérivées :

[Formule mathématique]
[Formule mathématique]

Par la règle de l’Hôpital :

[Formule mathématique]

2.4 Réécriture à l’aide d’une fonction exponentielle et d’un logarithme

Pour les formes indéterminées avec des puissances (du type [Formule], [Formule], [Formule]), on utilise l’écriture, si [Formule] :

[Formule mathématique]

Puis on étudie la limite du terme exponentiel :

[Formule mathématique]

Exemple :

[Formule mathématique]

Réécriture :

[Formule mathématique]

On étudie donc :

[Formule mathématique]

On connait la limite classique :

[Formule mathématique]

Donc

[Formule mathématique]

2.5 Changement de variable

Parfois une substitution ou un changement de variable facilite le calcul.

Exemple :

Pour

[Formule mathématique]

On utilise l’approximation au voisinage de [Formule] :

[Formule mathématique]

Donc

[Formule mathématique]

3. Résumé des formes indéterminées et méthodes adaptées

4. Algorithme de résolution du calcul des limites avec formes indéterminées

[Diagramme]

5. Exercices corrigés

Exercice 1 : Forme [Formule]

Calculer :
[Formule mathématique]

Solution :

Substitution directe :

[Formule mathématique] indéterminé.

Factorisation :

[Formule mathématique] (pour [Formule]).

Donc :

[Formule mathématique]

Exercice 2 : Forme [Formule]

Calculer :
[Formule mathématique]

Solution :

Multiplier par la conjugée :

[Formule mathématique]

Diviser numérateur et dénominateur par [Formule] :

[Formule mathématique]

Limite lorsque [Formule] :

[Formule mathématique]

Exercice 3 : Forme [Formule]

Calculer :
[Formule mathématique]

Solution :

C’est la limite remarquable qui définit la constante [Formule].

Réécriture :

[Formule mathématique]

On étudie :

[Formule mathématique]

On utilise [Formule] pour [Formule] :

[Formule mathématique]

Donc :

[Formule mathématique]

Synthèse

• La présence de formes indéterminées est fréquente lors du calcul des limites.
• Il faut reconnaître la forme pour appliquer la méthode la plus adaptée.
• La règle de l’Hôpital est un outil puissant pour [Formule] et [Formule].
• La factorisation, la rationalisation, et la réécriture exponentielle sont des techniques complémentaires essentielles.
• Dans tous les cas, observer le comportement local des fonctions, les approximations via des développements de Taylor peuvent faciliter le traitement.

Références de formules usuelles utiles

Avec cette fiche, vous avez une base solide pour maîtriser les limites avec formes indéterminées, et progresser en analyse mathématique.