Fiche de révision : Distances et cercles

Introduction

La notion de distance et les propriétés des cercles sont des bases fondamentales en géométrie. Comprendre comment mesurer les distances entre différents éléments géométriques (points, droites, cercles) ainsi que les caractéristiques spécifiques des cercles est essentiel pour résoudre de nombreux problèmes en géométrie plane.

1. Distance entre deux points

Définition

Distance entre deux points : C'est la longueur du segment qui relie ces deux points dans le plan.

Si on considère deux points [Formule] et [Formule] dans un plan, la distance [Formule] se calcule par la formule de la distance euclidienne :

[Formule mathématique]

Exemple

Si [Formule] et [Formule], alors :

[Formule mathématique]

2. Distance d’un point à une droite

Définition

Distance d’un point à une droite : C'est la longueur du segment perpendiculaire abaissé depuis le point jusqu'à la droite.

Si la droite [Formule] est donnée par l'équation cartésienne : [Formule] et un point [Formule], alors la distance [Formule] de [Formule] à [Formule] est donnée par :

[Formule mathématique]

Exemple

Pour la droite [Formule] et le point [Formule] :

[Formule mathématique]

3. Le cercle : définition et éléments

Définition

Cercle : Un cercle est l'ensemble des points du plan situés à une distance constante, appelée rayon, d'un point fixe appelé centre.

Si le centre est [Formule] et le rayon est [Formule], le cercle est l'ensemble des points [Formule] tels que :

[Formule mathématique]

Éléments du cercle

• Centre : [Formule]
• Rayon : [Formule]
• Diamètre : segment reliant deux points du cercle en passant par le centre, longueur [Formule]
• Corde : segment dont les deux extrémités sont sur le cercle et qui ne passe pas forcément par le centre.
• Arc de cercle : partie du cercle délimitée par deux points.

4. Relation entre cercle et droites

Position d’une droite par rapport à un cercle

Considérons un cercle de centre [Formule] et rayon [Formule], et une droite [Formule] donnée par [Formule].

• Calculer la distance [Formule] du centre [Formule] à la droite [Formule] :

[Formule mathématique]

• Cas 1 : si [Formule], alors la droite ne touche pas le cercle (pas de points communs).
• Cas 2 : si [Formule], alors la droite est tangente au cercle (un seul point commun).
• Cas 3 : si [Formule], alors la droite coupe le cercle en deux points (2 points d'intersection).

5. Tangente au cercle

Définition

Tangente à un cercle : une droite est tangente au cercle si elle touche le cercle en un unique point, appelé point de tangence.

Propriété

La tangente en un point [Formule] du cercle est perpendiculaire au rayon [Formule] passant par ce point.

6. Distance entre deux cercles

Considérons deux cercles de centres [Formule] et [Formule], et de rayons respectifs [Formule] et [Formule].

Calculons la distance entre les centres : [Formule].

• Cas 1 : [Formule] → Les cercles sont disjoints (pas d’intersection)
• Cas 2 : [Formule] → Les cercles sont tangents extérieurement
• Cas 3 : [Formule] → Les cercles se coupent en deux points
• Cas 4 : [Formule] → Les cercles sont tangents intérieurement
• Cas 5 : [Formule] → Un cercle est inclus dans l’autre (pas d’intersection)

Illustration des positions des cercles :

[Diagramme]

7. Équation réduite du cercle

La forme la plus connue de l’équation d’un cercle de centre [Formule] et de rayon [Formule] est :

[Formule mathématique]

8. Trouver l’équation d’un cercle à partir de points

Cas classique : On connaît le centre [Formule] et un point [Formule] sur le cercle.

• Pour [Formule] et [Formule], le rayon [Formule] vaut :

[Formule mathématique]

• L’équation sera donnée par :

[Formule mathématique]

Cas sans centre connu : trouver [Formule] à partir de 3 points

• Si 3 points [Formule] ne sont pas alignés, ils définissent un cercle unique.
• Le centre est le point d'intersection des médiatrices des segments [Formule] et [Formule].

Médiatrice : droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu.

9. Synthèse des formules

10. Exemple complet

Problème :

Soit un cercle de centre [Formule] et de rayon [Formule]. Quelle est la distance du point [Formule] au cercle ? Et la distance du point [Formule] à la droite tangentielle au cercle en [Formule] ?

Solution :

• Distance [Formule] :

[Formule mathématique]

• Distance de [Formule] au cercle = [Formule]

• La tangente au cercle en [Formule] est perpendiculaire au rayon [Formule].

• Vecteur [Formule]

• Une droite perpendiculaire à [Formule] est horizontale : donc équation [Formule].

• Distance de [Formule] à cette droite :

[Formule mathématique]

11. Diagramme récapitulatif : distances en géométrie plane

[Diagramme]

Ce diagramme montre les relations entre point, droite, cercle et leurs distances respectives.

Synthèse

• La distance est une mesure importante en géométrie, en particulier la distance entre points, et entre un point et une droite.
• Un cercle est défini par un centre et un rayon, avec une équation canonique simple.
• La position relative d'un point, d'une droite ou d'un autre cercle vis-à-vis d'un cercle se calcule souvent via la distance entre centres ou points et droites.
• La tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point et est perpendiculaire au rayon passant par ce point.
• Les médiatrices permettent de trouver le centre d'un cercle lorsque seul son passage par trois points est connu.
• Les propriétés distance-cercles-droites sont souvent utilisées ensemble pour résoudre des problèmes complexes.

Avec cette fiche, vous avez un panorama clair et précis des notions essentielles autour des distances et des cercles. N’hésitez pas à vous entraîner avec des exercices variés pour maîtriser ces concepts !