Fiche de révision : Les Limites de Fonctions

Introduction

En mathématiques, les limites de fonctions sont un concept fondamental qui permet d'analyser le comportement d'une fonction lorsque la variable approche une certaine valeur, que ce soit un nombre fini ou l'infini. Comprendre les limites est crucial pour étudier la continuité, la dérivation et les asymptotes des fonctions.

Cette fiche de révision vous propose une exploration progressive des limites, avec définitions, méthodes de calcul, propriétés et exemples, adaptée au niveau intermédiaire.

1. Définition intuitive de la limite

La limite d'une fonction ( f(x) ) lorsque ( x ) tend vers ( a ) indique la valeur que ( f(x) ) approche quand ( x ) se rapproche de ( a ), sans nécessairement que ce soit la valeur de la fonction en ( a ).

Définition : On dit que la fonction ( f ) tend vers la limite ( L ) quand ( x ) tend vers ( a ) si, pour toute valeur suffisamment proche de ( a ), les valeurs de ( f(x) ) sont proches de ( L ).
On écrit :
[ \lim_{x \to a} f(x) = L ]

Exemple concret :

Si ( f(x) = 2x + 3 ), alors quand ( x \to 1 ), ( f(x) \to 2 \times 1 + 3 = 5 ).
Donc, [ \lim_{x \to 1} (2x + 3) = 5 ]

2. Limites à gauche et à droite

Parfois, la limite peut être différente si ( x ) approche ( a ) par des valeurs inférieures (à gauche) ou supérieures (à droite). On définit :

• Limite à gauche :
  [ \lim_{x \to a^-} f(x) ]

• Limite à droite :
  [ \lim_{x \to a^+} f(x) ]

La limite en ( a ) existe seulement si la limite à gauche et la limite à droite existent et sont égales.

Exemple

La fonction [ f(x) = [Contenu mathématique] ]

Calculez :

• (\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 + 1 = 3)
• (\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \times 2 - 4 = 2)

Ici, la limite en 2 n'existe pas car les deux limites latérales sont différentes.

3. Limites en l'infini et limites infinies

Limites quand ( x \to +\infty ) ou ( -\infty )

Étudie le comportement de ( f(x) ) lorsque ( x ) devient très grand ou très petit.

Exemple :
[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(3 + \frac{1}{x}\right) = 3 ]

Limites infinies

On écrit que la limite tend vers ( +\infty ) ou ( -\infty ) si ( f(x) ) devient arbitrairement grand en valeur absolue.

Exemple :
[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty ]

4. Propriétés fondamentales des limites

Soient ( f ) et ( g ) deux fonctions telles que les limites en ( a ) existent. Si
[ \lim_{x \to a} f(x) = L, \quad \lim_{x \to a} g(x) = M, ] alors on dispose des règles suivantes :

5. Techniques pour calculer une limite

5.1 Substitution directe

Remplacer ( x ) par ( a ) si la forme est définie (pas de division par zéro ni indétermination).

Exemple :
[ \lim_{x \to 2} (x^2 + 3) = 2^2 + 3 = 7 ]

5.2 Simplification algébrique

Utiliser la factorisation, la rationalisation, ou la réduction pour lever une forme indéterminée ((\frac{0}{0}), (\infty-\infty)).

Exemple
[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} ] Factoriser le numérateur : (x^2 - 1 = (x-1)(x+1))
Puis simplifier :
[ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 ]

5.3 Utilisation des limites remarquables

Certains résultats clés facilitent le calcul :

• (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1)
• (\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2})
• (\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} - x = 0)

6. Formes indéterminées

Quand on tente de calculer une limite et que l'on obtient une expression du type :

• (\frac{0}{0})
• (\infty - \infty)
• (0 \times \infty)
• (\frac{\infty}{\infty})
• (1^{\infty})
• (0^{0})
• (\infty^{0})

C'est une forme indéterminée, et il faut utiliser des techniques spécifiques comme la factorisation, la rationalisation, ou la règle de l'Hôpital (au-delà de ce niveau).

7. Continuité et limites

Une fonction est continue en un point ( a ) si :

1. ( f(a) ) est définie,
2. (\lim_{x \to a} f(x)) existe,
3. (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)).

La continuité implique que la limite en ce point est égale à la valeur de la fonction.

8. Résumé sous forme d’arbre de décision

[Diagramme]

9. Exercices d’application

• Calculer (\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}).
• Étudier la limite de (\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2}) en (x \to 2).
• Déterminer (\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 + 3}{2x^2 - x}).
• Trouver (\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x)).

Synthèse

• La limite décrit le comportement d’une fonction proche d’un point, même si celle-ci n’est pas définie en ce point.
• Les limites à gauche et à droite permettent d’analyser le comportement selon la direction d’approche.
• Les limites à l'infini définissent le comportement à grande échelle.
• Il faut savoir reconnaître et résoudre les formes indéterminées.
• La continuité d’une fonction en un point est liée à la valeur de la limite.
• Les propriétés algébriques facilitent le calcul par opérations élémentaires.
• Quand la substitution directe mène à une indétermination, il faut appliquer des techniques algébriques.

Maîtriser les limites est une étape indispensable pour comprendre l’analyse mathématique et la notion de dérivée.

Bonne révision !