Fonctions quadratiques et leurs graphes
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Fiche de Révision : Fonctions Quadratiques et leurs Graphes
Introduction
Les fonctions quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré 2, essentielles en mathématiques pour modéliser de nombreuses situations (mouvements, optimisation, économie, etc.). Leur forme particulière donne naissance à des graphes appelés paraboles, qui ont des propriétés géométriques et analytiques intéressantes.
Objectif : Comprendre la structure, les caractéristiques, et la représentation graphique des fonctions quadratiques.
1. Définition et Forme Générale
Fonction quadratique
Une fonction quadratique est une fonction [Formule] définie par une expression de la forme :
[Formule mathématique]
où [Formule], [Formule], et [Formule] sont des nombres réels avec [Formule].
- [Formule] est le coefficient quadratique (en [Formule]), qui détermine la courbure de la parabole.
- [Formule] est le coefficient linéaire.
- [Formule] est la ordonnée à l'origine (valeur de la fonction pour [Formule]).
2. Le Graphe d'une Fonction Quadratique : la Parabole
- Le graphe de [Formule] est une parabole.
- Si [Formule], la parabole est ouverte vers le haut.
- Si [Formule], la parabole est ouverte vers le bas.
Propriétés principales du graphe
| Élément | Description | Formule / Information |
|---|---|---|
| Sommet | Point où la parabole atteint un minimum ou maximum | [Formule] |
| Axe de symétrie | Droite verticale passant par le sommet | [Formule] |
| Ordonnée à l'origine | Point d'intersection avec l'axe des ordonnées | [Formule] |
| Direction d'ouverture | vers le haut si [Formule], vers le bas sinon | - |
3. Calcul du Sommet et de l'Axe de Symétrie
Coordonnées du sommet
Le sommet est important car il représente le maximum ou minimum de la fonction.
- L'abscisse du sommet est donnée par :
[Formule mathématique]
- L'ordonnée est :
[Formule mathématique]
4. Forme Canonique d'une Fonction Quadratique
La fonction quadratique peut être réécrite sous la forme dite canonique :
[Formule mathématique]
où :
- [Formule] (abscisse du sommet),
- [Formule] (ordonnée du sommet).
Cette forme met en évidence la position du sommet et facilite le tracé de la parabole.
Exemple :
Soit la fonction [Formule].
- Calcul de [Formule] :
[Formule mathématique]
- Calcul de [Formule] :
[Formule mathématique]
- Forme canonique :
[Formule mathématique]
5. Zéros (ou Racines) de la Fonction Quadratique
Définition
Les racines d’une fonction quadratique sont les solutions de l’équation :
[Formule mathématique]
Calcul par le discriminant
On calcule le discriminant [Formule] :
[Formule mathématique]
- Si [Formule] : deux racines réelles distinctes
[Formule mathématique]
- Si [Formule] : une racine réelle double
[Formule mathématique]
- Si [Formule] : pas de racines réelles (pas d'intersection avec l'axe des abscisses)
6. Représentation Graphique : Étapes pour Tracer une Parabole
- Identifier [Formule], [Formule], [Formule] de la fonction.
- Tracer l’ordonnée à l'origine : point [Formule].
- Calculer le sommet [Formule].
- Tracer l’axe de symétrie : droite verticale [Formule].
- Calculer les racines si elles existent.
- Tracer la parabole : en respectant l’ouverture selon le signe de [Formule] et les points calculés.
Diagramme Mermaid : Processus de tracé d’une parabole
[Diagramme]
7. Exemples Concrets
Exemple 1
[Formule]
- [Formule], [Formule], [Formule]
- Sommet :
[Formule mathématique] [Formule mathématique]
- Discriminant :
[Formule mathématique]
- Racines :
[Formule mathématique]
- Parabole ouverte vers le haut, sommet en [Formule], racines en [Formule] et [Formule].
Exemple 2
[Formule]
- [Formule] (parabole vers le bas)
- Sommet :
[Formule mathématique] [Formule mathématique]
- Discriminant :
[Formule mathématique]
- Racines :
[Formule mathématique] [Formule mathématique]
8. Liens entre les concepts
- Le signe de [Formule] détermine la concavité.
- Le sommet donne la position du point extrême (min/max).
- Le discriminant donne la nature des racines, donc les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
- La forme canonique facilite le traçage et la lecture du sommet.
Synthèse
- Une fonction quadratique est une parabole : [Formule] avec [Formule].
- Le sommet se calcule avec [Formule] et [Formule].
- La parabole est symétrique par rapport à la droite [Formule].
- Le discriminant [Formule] détermine le nombre de racines réelles.
- La forme canonique [Formule] est très utile pour le tracé.
- Le signe de [Formule] dirige l’ouverture (haut ou bas).
Cette fiche vous permet de comprendre comment analyser, calculer, et représenter graphiquement toute fonction quadratique, outils essentiels pour la résolution de problèmes en algèbre et en géométrie analytique.
