Fiche de Révision : Limites de Suites

Introduction

Les suites numériques sont des objets fondamentaux en mathématiques, notamment en analyse. Comprendre la notion de limite d'une suite permet d'analyser son comportement lorsque l'indice devient très grand (tend vers l'infini). C’est une idée essentielle pour étudier la convergence, la stabilité et les propriétés asymptotiques des suites.

Cette fiche aborde les notions clés liées aux limites de suites, avec des définitions précises, des exemples illustrés, et des liens logiques entre concepts pour faciliter la compréhension.

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels (ou une partie d'eux), qui associe à chaque entier ( n ) un nombre réel ( u_n ).

Définition
Une suite ( (u_n) ) est une liste ordonnée de nombres ( u_0, u_1, u_2, \dots ) ou ( u_1, u_2, u_3, \dots ), où chaque terme dépend de l'indice naturel ( n ) :
[ u: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u_n. ]

2. Notion de limite d’une suite

La limite d'une suite exprime le comportement de ses termes au fur et à mesure que ( n \to +\infty ).

2.1 Limite finie

Définition
On dit que la suite ( (u_n) ) converge vers un réel ( \ell \in \mathbb{R} ) si, pour tout ( \varepsilon > 0 ), il existe un entier ( N ) tel que pour tout ( n \geq N ), on ait
[ |u_n - \ell| < \varepsilon. ] alors on écrit
[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \ell. ]

Cela signifie que les termes de la suite s'approchent arbitrairement près de ( \ell ) pour ( n ) suffisamment grand.

2.2 Limite infinie

Définition
Si les termes de la suite deviennent arbitrairement grands positivement (ou négativement), on dit que la suite tend vers ( +\infty ) (ou ( -\infty )):
[ \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty. ]

Exemple 1 : Limite finie

Soit ( u_n = \frac{2n + 1}{n} ).

On peut écrire :
[ u_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n}. ]

Quand ( n \to +\infty ), (\frac{1}{n} \to 0), donc

[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 2. ]

Exemple 2 : Limite infinie

Soit ( v_n = n^2 ).

Pour tout ( A > 0 ), il existe ( N \in \mathbb{N} ) tel que pour tout ( n > N ), ( v_n = n^2 > A ), donc

[ \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty. ]

3. Suites convergentes et divergentes

Une suite converge si elle a une limite finie.
Une suite diverge si elle n’a pas de limite finie (peut tendre vers ( \pm\infty ) ou ne pas avoir de limite).

4. Propriétés des limites

4.1 Unicité

Propriété
Si une suite ( (u_n) ) converge, alors sa limite est unique.

4.2 Opérations sur les limites

Pour deux suites ( (u_n) ) et ( (v_n) ) convergentes avec limites ( \ell ) et ( m ), on a :

Opération	Limite
Somme ( u_n + v_n )	(\lim (u_n + v_n) = \ell + m)
Produit ( u_n \times v_n )	(\lim (u_n v_n) = \ell \times m)
Quotient ( \frac{u_n}{v_n} ), ( m \neq 0 )	(\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{m})

4.3 Théorème des gendarmes

Enoncé
Si pour tout ( n ) assez grand, ( u_n \leq w_n \leq v_n ) et si ( \lim u_n = \lim v_n = \ell ), alors
[ \lim w_n = \ell. ]

Illustration par un diagramme de flux : décision pour la limite d'une suite

[Diagramme]

5. Suites monotones et limites

Une suite monotone est plus facile à analyser.

Si ( (u_n) ) est croissante et majorée, alors elle converge vers sa borne supérieure.
Si ( (u_n) ) est décroissante et minorée, alors elle converge vers sa borne inférieure.

Exemple

Considérons la suite définie par ( u_n = 1 - \frac{1}{n} ).

( u_n ) est croissante (car ( \frac{1}{n} ) décroît).
( u_n < 1 ) pour tout ( n ).

Ainsi,

[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 1. ]

6. Limite d’une suite définie par une fonction

Parfois, on analyse la limite d’une suite ( u_n = f(n) ) en étudiant la limite de la fonction ( f ) en ( +\infty ).

Exemple :
( u_n = \frac{\sin n}{n} ). On sait que
[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n} = 0, ] car ( \sin n ) est bornée entre -1 et 1, et ( n \to +\infty ).

7. Limite et infinitésimaux

Un infinitésimal est une suite ( (u_n) ) telle que :

[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0. ]

Exemple : ( u_n = \frac{1}{n} ) est un infinitésimal.

8. Synthèse et méthode

Comment étudier la limite d’une suite ?

Identifier la forme de la suite : expression explicite, récurrente, définie par fonction.
Rechercher une limite évidente : limites classiques (polynômes, rationnelles, exponentielles).
Simplifier l’expression pour mettre en évidence un comportement (ex : factorisation, division par le terme dominant).
Utiliser les propriétés de limite sur les sommes, produits, quotients.
Regarder si la suite est monotone et si elle est bornée, afin d’appliquer le théorème associé.
Employez le théorème des gendarmes pour borner la suite si nécessaire.
Vérifier la convergence ou divergence selon le comportement des termes.

Tableau récapitulatif des limites classiques

Suite ( u_n )	Limite ( \lim_{n \to +\infty} u_n )
( \frac{1}{n^p} ), ( p > 0 )	0
( a^n ), (	a
( a^n ), ( a > 1 )	( +\infty )
( \ln(n) )	( +\infty )
( \frac{n+1}{n} )	1
( \frac{2n^2 + 3}{n^2 - 1} )	2

Conclusion

Comprendre la notion de limite de suite est un pilier pour l’analyse mathématique et la compréhension des phénomènes asymptotiques. Cela permet d’estimer le comportement à long terme d’une suite, d’établir la convergence et d’anticiper la stabilité.

Résumé des points clés :

La limite mesure le comportement à l’infini.
Une suite peut converger vers un réel ou tendre vers ( +\infty ) ou ( -\infty ).
Les suites monotones bornées convergent.
Le théorème des gendarmes est un outil puissant pour montrer la convergence.
Les opérations sur limites sont linéaires (sommes, produits, quotients).
Les suites définies par fonctions peuvent souvent s'analyser via les limites de fonctions.

N’hésitez pas à pratiquer avec différentes suites pour maîtriser ces notions fondamentales !

Limites de suites