Fiche de Révision : Puissances à exposant entier

Introduction

En mathématiques, une puissance est une forme d’expression qui exprime la multiplication répétée d’un même nombre appelé base. L’exposant indique combien de fois cette base est multipliée par elle-même. Une puissance à exposant entier désigne un cas où cet exposant est un nombre entier, positif, nul ou négatif.

Cette fiche vise à préciser les règles et propriétés des puissances à exposant entier, avec des exemples concrets et des liens entre les différents concepts pour maîtriser le sujet.

1. Définition d’une puissance à exposant entier

Une puissance à exposant entier se note ( a^n ), où :

(a) est la base (un nombre réel non nul en général)

(n) est un exposant entier (positif, nul ou négatif)

Interprétation :

Exposant (n)	Signification de (a^n)
(n > 0)	Produit de (a) multiplié (n) fois : (a \times a \times \cdots \times a) (total (n) facteurs)
(n = 0)	Valeur définie par convention : (a^0 = 1), à condition que (a \neq 0)
(n < 0)	Inverse de la puissance positive correspondante : (a^n = \frac{1}{a^{-n}}), avec (-n > 0)

Exemple :

(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125)
(7^0 = 1) (pour (7 \neq 0))
(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4})

2. Propriétés fondamentales des puissances

Les puissances avec exposant entier obéissent à plusieurs règles importantes qui permettent de simplifier des expressions ou de calculer rapidement.

2.1. Produit de puissances ayant la même base

Règle :
( a^m \times a^n = a^{m+n} )

Cela traduit le fait que multiplier des puissances de même base revient à additionner leurs exposants.

Exemple :
(3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 = 729)

2.2. Quotient de puissances ayant la même base

Règle :
(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}) (avec (a \neq 0))

L’opération revient à soustraire les exposants.

Exemple :
(\frac{5^5}{5^2} = 5^{5-2} = 5^3 = 125)

2.3. Puissance d’une puissance

Règle :
(\left(a^m\right)^n = a^{m \times n})

Multiplier une puissance par un autre exposant revient à multiplier les exposants.

Exemple :
(\left(2^3\right)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096)

2.4. Puissance d’un produit

Règle :
(\left(ab\right)^n = a^n \times b^n)

L’exposant s’applique à chaque facteur.

Exemple :
(\left(3 \times 4\right)^2 = 3^2 \times 4^2 = 9 \times 16 = 144)

2.5. Puissance d’un quotient

Règle :
(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}) (avec (b \neq 0))

Exemple :
(\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125})

3. Cas des exposants négatifs et nuls

3.1. Exposant nul

Définition :
Pour toute base (a \neq 0), (a^0 = 1).

Cela s’appuie sur la propriété (\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 = 1).

Attention : (0^0) est une expression indéfinie en mathématiques.

3.2. Exposant négatif

Définition :
(a^{-n} = \frac{1}{a^n}), avec (a \neq 0) et (n > 0).

Cela correspond à prendre l’inverse de la puissance positive.

Exemple :
(4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64})

4. Remarques importantes

Base zéro avec exposant négatif : (0^{-n}) est indéfini car on ne peut pas diviser par zéro.
Sens intuitif : Les puissances représentent des multiplications répétées. L’exposant négatif « inverse » cette multiplication.
Puissance et opérations : WLa puissance n’est pas distributive par rapport à l’addition, donc ( (a+b)^n \neq a^n + b^n ) en général.

5. Synthèse sous forme d’arbre décisionnel

Pour mieux comprendre comment calculer une puissance selon la nature de l’exposant, voici un diagramme Mermaid qui résume les règles appliquées en fonction de l’exposant.

[Diagramme]

6. Tableau récapitulatif des règles

Expression	Interprétation / Règle	Condition	Exemple
(a^m \times a^n)	Addition des exposants	(a \neq 0)	(2^3 \times 2^4 = 2^{7} = 128)
(\frac{a^m}{a^n})	Soustraction des exposants	(a \neq 0)	(\frac{5^5}{5^2} = 5^3 = 125)
(\left(a^m\right)^n)	Multiplication des exposants	Aucun	(\left(3^2\right)^3 = 3^{6} = 729)
(\left(ab\right)^n)	Puissance distributive sur le produit	Aucun	((2 \times 4)^3 = 2^3 \times 4^3 = 512)
(\left(\frac{a}{b}\right)^n)	Puissance distributive sur le quotient	(b \neq 0)	(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25})
(a^0)	Exposant nul, puissance égale à 1	(a \neq 0)	(7^0 = 1)
(a^{-n})	Inverse de la puissance positive	(a \neq 0, n > 0)	(2^{-2} = \frac{1}{4})

7. Exercices pratiques

Calculer ( (3^2)^4 )
Simplifier (\frac{10^5}{10^2})
Trouver la valeur de (7^0)
Exprimer (5^{-3}) sans exposant négatif
Calculer (\left(\frac{4}{3}\right)^{-2})

Conclusion

Les puissances à exposant entier sont un outil fondamental en mathématiques qui simplifie la représentation de multiplications répétées. Les règles d'addition et de soustraction des exposants pour les produits et quotients, ainsi que les comportements spécifiques des exposants négatifs ou nuls, permettent une manipulation efficace et rapide.

Pour progresser, il est essentiel de bien maîtriser ces propriétés et de reconnaître rapidement le type d’exposant afin d’appliquer la bonne règle.

N’hésitez pas à utiliser ces notions dans des contextes variés, tels que les calculs algébriques, la simplification d’expressions ou lors du travail avec des puissances de 10 (notamment en physique ou chimie).

Puissances à exposant entier