Rappels sur les événements et probabilités
Funciones avanzadas disponibles en la aplicación
- Imágenes
- Fórmulas matemáticas
- Diagramas con renderizado profesional y académico en la app
Fiche de Révision : Rappels sur les événements et probabilités
Introduction
La probabilité est une branche des mathématiques qui étudie la chance ou la possibilité de la survenue d'événements dans un univers aléatoire. Comprendre les événements et les probabilités est essentiel pour analyser et modéliser des situations d'incertitude, que ce soit en sciences, en économie ou en vie courante.
Cette fiche propose un rappel des notions fondamentales liées aux événements et aux probabilités, adaptée à un niveau intermediate. Nous verrons les définitions, les opérations sur les événements, les propriétés des probabilités, ainsi que des exemples pour mieux saisir chaque concept.
1. Notions élémentaires
1.1. Univers et événements
Univers (ou espace échantillon) : Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire,noté [Formule].
Événement : Un sous-ensemble de [Formule]. C’est un résultat ou un ensemble de résultats qui peuvent se produire.
- Exemple : On lance un dé à 6 faces.
- [Formule]
- L’événement "obtenir un nombre pair" est [Formule].
Événement certain : L’événement qui contient tous les résultats, donc [Formule].
Événement impossible : L’ensemble vide, noté [Formule], aucun résultat possible.
1.2. Opérations sur les événements
Les événements peuvent être combinés grâce à plusieurs opérations :
| Opération | Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|---|
| Union | [Formule] | Événement "A ou B" (au moins un des deux) | [Formule]nombre pair[Formule], [Formule]nombre > 4[Formule], [Formule] |
| Intersection | [Formule] | Événement "A et B" (les deux se produisent) | [Formule] |
| Complémentaire | [Formule] | Événement "non A" (A ne se produit pas) | Si [Formule], alors [Formule] |
| Différence | [Formule] | Événement "A sans B" (A se produit mais pas B) | [Formule] |
2. Probabilités : définitions et propriétés
2.1. Définition d’une probabilité
Probabilité : Fonction [Formule] qui associe à chaque événement [Formule] un nombre réel [Formule] compris entre 0 et 1, représentant la "chance" que [Formule] se réalise.
Les probabilités doivent vérifier les axiomes de Kolmogorov :
- [Formule] pour tout événement [Formule].
- [Formule] (probabilité de l'univers certain).
- Pour deux événements disjoints [Formule] et [Formule] (i.e. [Formule]), [Formule mathématique]
2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance
Probabilité conditionnelle :
Pour deux événements [Formule] et [Formule] tels que [Formule], la probabilité de [Formule] sachant que [Formule] est réalisé est :
[Formule mathématique]
L’exemple : Tirer une carte rouge sachant que la carte est un cœur.
Indépendance entre événements :
Deux événements [Formule] et [Formule] sont indépendants si la survenue de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre, c’est-à-dire :
[Formule mathématique]
Si cette égalité n’est pas vérifiée, les événements ne sont pas indépendants.
2.3. Formule des probabilités totales
Si [Formule] est une partition de l’univers [Formule], c’est-à-dire des événements deux-à-deux disjoints et dont l’union fait [Formule], alors pour tout événement [Formule] :
[Formule mathématique]
Cette formule permet de calculer la probabilité de [Formule] en la découpant selon les différents cas [Formule].
2.4. Formule de Bayes
La formule de Bayes est un outil fondamental pour inverser une probabilité conditionnelle lorsque les probabilités totales sont connues.
Pour [Formule], on a :
[Formule mathématique]
Utilisé notamment en statistiques, diagnostic médical, etc.
3. Exemples concrets
3.1. Exemple : lancer un dé équilibré
On considère un dé équilibré à 6 faces, donc chaque face a la même probabilité :
[Formule mathématique]
- Événement [Formule] : obtenir un nombre pair [Formule]
[Formule mathématique]
- Événement [Formule] : obtenir un nombre [Formule], [Formule]
[Formule mathématique]
- Intersection [Formule], donc
[Formule mathématique]
- Probabilité conditionnelle de [Formule] sachant [Formule] :
[Formule mathématique]
3.2. Diagrams d’événements avec un arbre de probabilités
L’arbre de probabilités permet de représenter visuellement les enchaînements et calcule facilement les probabilités.
[Diagramme]
Ce diagramme illustre les étapes :
- D’abord la partition "pair ou impair".
- Puis subdivision selon "plus grand que 4 ou pas".
4. Synthèse des points essentiels
| Concept | Définition / Formule clé | Remarque importante |
|---|---|---|
| Univers [Formule] | Ensemble des issues possibles | [Formule] |
| Événement [Formule] | Sous-ensemble de [Formule] | Un événement peut contenir plusieurs issues |
| Union d’événements | [Formule] | "A ou B" |
| Intersection d’événements | [Formule] | "A et B" |
| Complémentaire | [Formule] | "non A" |
| Probabilité | [Formule]; [Formule] | axiomes de Kolmogorov |
| Probabilité conditionnelle | [Formule] | nécessite [Formule] |
| Indépendance | [Formule] | sinon événements dépendants |
| Probabilités totales | [Formule] | pour une partition [Formule] |
| Formule de Bayes | [Formule] | inverse la conditionnelle |
Conclusion
La maîtrise des événements et des probabilités repose sur la compréhension des ensembles, leurs opérations, la définition de la probabilité, ainsi que sur l’utilisation des formules clés comme la probabilité conditionnelle, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.
Ces concepts sont essentiels pour analyser correctement des phénomènes aléatoires et pour modéliser des problèmes dans de nombreux domaines.
N’oubliez pas de toujours bien formaliser vos événements et d’utiliser les diagrammes ou arbres de probabilités lorsque cela facilite la visualisation et le calcul.
N’hésitez pas à vous exercer sur des problèmes concrets en construisant les univers, les événements et en calculant les probabilités selon les méthodes rappelées ici !
