Fiche de révision : Triangles semblables avec dessins

Introduction

Les triangles semblables sont un concept fondamental en géométrie qui permet d’établir des relations entre des figures qui ont la même forme, même si leurs tailles diffèrent. Comprendre les triangles semblables est essentiel pour résoudre des problèmes impliquant des proportions, des mesures indirectes, et des configurations géométriques complexes.

Dans cette fiche, nous allons explorer les triangles semblables en détail, avec des définitions précises, des critères de semblance, des exemples concrets et des dessins pour mieux visualiser les notions. Nous utiliserons également des formules mathématiques et des diagrammes Mermaid pour clarifier la démarche.

1. Qu’est-ce qu’un triangle semblable ?

Un triangle est semblable à un autre triangle si et seulement si ils ont la même forme, ce qui signifie que leurs angles correspondants sont égaux et que les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.

Cela ne signifie pas que les triangles ont la même taille : l’un peut être une image agrandie ou réduite de l’autre.

Propriétés des triangles semblables

• Correspondance des angles : Chaque angle d’un triangle est égal à l’angle correspondant dans l’autre triangle.
• Proportionnalité des côtés :

Si les côtés des triangles sont respectivement [Formule] et [Formule], on a alors :

[Formule mathématique]

où [Formule] est appelé le rapport de similitude.

2. Critères de similitude des triangles

On peut vérifier la similitude de deux triangles en utilisant trois critères principaux très utiles.

Critère 1 : AA (Angle-Angle)

Si deux angles d’un triangle sont respectivement égaux à deux angles d’un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.

Explication : Puisque la somme des angles dans un triangle vaut toujours 180°, connaître deux angles suffit à déterminer le troisième.

Critère 2 : LAL (Longueur-Angle-Longueur)

Si un angle d’un triangle est égal à un angle d’un autre triangle, et si les longueurs des côtés adjacents à cet angle sont proportionnelles, alors les triangles sont semblables.

Critère 3 : LLL (Longueur-Longueur-Longueur)

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors les triangles sont semblables.

3. Visualisation et exemples

Exemple 1 : Triangles semblables par AA

Soient deux triangles [Formule] et [Formule].

• [Formule]
• [Formule]
• Par conséquent, [Formule]

Ces triangles sont semblables par le critère AA.

Exemple 2 : Triangle et agrandissement

On considère un triangle [Formule] avec les longueurs :

On construit un triangle [Formule] tel que :

• [Formule]
• [Formule]
• [Formule]

Les rapports des côtés sont :

[Formule mathématique]

Donc, [Formule] avec un rapport [Formule].

Diagramme Mermaid : identification du critère de similitude

Ce diagramme illustre le choix du critère adapté selon les informations sur les triangles.

[Diagramme]

4. Usage des triangles semblables : application

Problème type

Vous mesurez la hauteur d’un arbre à l’aide d’un bâton.

• La longueur du bâton est de [Formule].
• L’ombre du bâton mesure [Formule].
• L’ombre de l’arbre mesure [Formule].

On suppose que les rayons du soleil forment un angle identique pour le bâton et l’arbre.

On veut calculer la hauteur [Formule] de l’arbre.

Résolution

Les triangles formés par le bâton et son ombre, ainsi que par l’arbre et son ombre, sont semblables (même angle d’incidence du soleil).

On pose :

[Formule mathématique]

Donc :

[Formule mathématique]

L’arbre mesure donc 9 mètres.

Exemple graphique :

[Diagramme]

Ce dessin montre que les deux triangles avec le bâton et l’arbre ont le même angle solaire, donc ils sont semblables.

5. Relations mathématiques dans les triangles semblables

Soient deux triangles semblables [Formule] et [Formule], avec rapport de similitude [Formule] :

[Formule mathématique]

Autres propriétés :

• Périmètres : Le périmètre du triangle [Formule] est [Formule] fois celui du triangle [Formule] :

[Formule mathématique]

• Aires : L’aire est multipliée par [Formule] :

[Formule mathématique]

6. Résumé / Synthèse

7. Exercices pratiques pour s’entraîner

• Exercice 1 : Dans les triangles [Formule] et [Formule], on a [Formule], [Formule]. Trouvez le rapport de similitude si [Formule] et [Formule].

• Exercice 2 : Deux triangles ont des côtés respectivement [Formule] et [Formule]. Montrez qu’ils sont semblables et calculez le rapport de similitude.

• Exercice 3 : Un bâtiment projette une ombre de 15 m au même moment où un poteau de 3 m projette une ombre de 4 m. Quelle est la hauteur du bâtiment ?

Fin de la fiche

Cette fiche a présenté les notions de triangles semblables avec des exemples, des critères rigoureux, des applications pratiques ainsi que des illustrations pour les rendre plus claires. Pour maîtriser ce thème, il est conseillé de pratiquer avec des exercices variés et de s’entraîner à reconnaître les critères de similitude rapidement.

Bonne révision !