Fiche de Révision : Physique quantique ondulatoire et structure de bande dans les solides

Introduction

La physique quantique ondulatoire permet de décrire la matière au niveau microscopique, où les particules possèdent une dualité onde-corpuscule. Cette approche est essentielle pour comprendre la structure électronique des solides, notamment la formation des bandes d’énergie, qui expliquent les propriétés électriques et optiques des matériaux. Cette fiche détaille ces concepts clés en alliant aspects quantiques et solid-state physics.

1. Fondements de la physique quantique ondulatoire

1.1. Dualité onde-corpuscule

Une particule microscopique (électron) présente à la fois des propriétés de particule et d’onde.

• La longueur d’onde de de Broglie d’une particule est donnée par
  [Formule mathématique]
  où [Formule] est la constante de Planck ([Formule]) et [Formule] la quantité de mouvement.

1.2. Fonction d’onde et équation de Schrödinger

• L’état d’une particule est décrit par une fonction d’onde [Formule], porteuse d’information sur la probabilité de présence.
• L’équation de Schrödinger indépendante du temps :
  [Formule mathématique]
  avec [Formule], [Formule] la masse de la particule, [Formule] le potentiel.

La résolution de cette équation permet de déterminer les niveaux d’énergie permis dans un système.

1.3. États quantiques dans un puits de potentiel

• Dans un puits de potentiel fini ou périodique, les niveaux d’énergie sont discrets ou organisés en bandes selon la taille et la nature du système.

2. Modèle de l'électron dans un solide cristallin

2.1. Potentiel périodique

Un solide cristallin est constitué d’atomes disposés selon un réseau périodique qui crée un potentiel périodique éprouvé par les électrons :

[Formule mathématique]

pour tout vecteur de réseau [Formule].

2.2. Théorème de Bloch

Les fonctions propres des électrons dans un potentiel périodique sont des ondes de Bloch, de la forme :

[Formule mathématique]

• [Formule] est une fonction périodique du réseau :
  [Formule].
• [Formule] est l’indice de bande, [Formule] le vecteur d’onde (nombre d’onde).

Conséquence : les électrons se comportent comme des ondes délocalisées dans tout le solide.

3. Structure de bande électronique

3.1. Origine de la structure de bandes

• Dans un atome isolé, les électrons occupent des niveaux d’énergie discrets.
• Dans un solide, en raison de la proximité des atomes, les orbitales atomiques se recouvrent, les niveaux se « scindent » et forment des bandes d’énergie.

3.2. Bandes permises et bandes interdites

• Le comportement électrique dépend de la largeur du gap :
  • Conducteurs : bandes se chevauchent ou gap nul.
  • Isolants : large gap interdit.
  • Semiconducteurs : gap modéré.

3.3. Diagramme typique de la structure de bande

[Diagramme]

4. Modèles simples pour comprendre les bandes

4.1. Modèle de l’électron libre dans un solide

• Approximation où [Formule] partout.

• Solution : onde plane avec énergie cinétique
  [Formule mathématique]

• Pas de gaps créés, pas de structure de bande.

4.2. Modèle du réseau périodique (modèle de Krönig-Penney)

• Modélise le potentiel périodique par une série de puits rectangulaires.
• Résolution de Schrödinger conduit à une dispersion en bandes séparées par des gaps à la zone de Brillouin.

4.3. Zone de Brillouin

La zone de Brillouin est la région répétitive fondamentale de l’espace des vecteurs d’onde [Formule], définie comme le domaine autour du point [Formule] (point [Formule]) où la structure électronique se répète.

• Coupant la zone de Brillouin donne la dispersion de l’énergie : [Formule].
• Contient les informations sur la conductivité et la mobilité des électrons.

5. Propriétés liées à la structure de bande

5.1. Conductivité électrique

• La conductivité dépend de la disponibilité d’états non occupés dans la bande de conduction.
• Dans un semi-conducteur, l’énergie thermique peut exciter des électrons dans la bande de conduction, créant des trous dans la bande de valence.

5.2. Masse effective

• La relation énergie-impulsion locale donne la masse effective des électrons dans la bande :
  [Formule mathématique]
• La masse effective conditionne la réponse dynamique des électrons dans un cristal.

5.3. Excitations et quasi-particules

• Les interactions rendent les électrons dans un solide des quasi-particules avec des propriétés modifiées (masses, charges effectives).

6. Exercices pratiques

• Analyse qualitative d’une courbe [Formule] donnée (minimum de bande, largeur, gaps).
• Identification des métaux, supraconducteurs et semiconducteurs à partir de structures de bande.
• Calcul de la masse effective à partir d’une courbe d’énergie.

Synthèse

• La physique quantique ondulatoire explique que les électrons dans un solide ont un comportement d’onde décrit par une fonction d’onde solution de l’équation de Schrödinger.
• La périodicité du réseau cristallin implique un potentiel périodique [Formule], engendrant la formation de bandes d’énergie au lieu de niveaux discrets.
• La structure de bande caractérise les propriétés électroniques des solides en distinguant bandes interdites (gaps), bandes de valence et de conduction.
• Le théorème de Bloch fournit un formalisme permettant de décrire ces états comme des ondes de Bloch.
• La connaissance de la structure de bande est clé pour comprendre la conductivité, la masse effective et les phénomènes électroniques dans les matériaux.

Diagramme de synthèse : du modèle atomique au solide

[Diagramme]

Formules importantes

Pour aller plus loin

• Étude des interactions électron-phonon et leur influence sur la structure de bande.
• Extension à la théorie des quasi-particules (excitons, polarons).
• Modèle de bandes dans les semi-conducteurs et applications en électronique.

Cette fiche vous offre une vue d’ensemble claire et progressive, adaptée aux étudiants de niveau intermédiaire, pour appréhender la physique quantique ondulatoire appliquée à la structure électronique des solides.