Fiche de Révision : Radioactivité — Partie 6

Introduction

La radioactivité est un phénomène physique naturel et fondamental en physique nucléaire. La Partie 6 approfondit certains aspects clés autour de la radioactivité, notamment la désintégration radioactive, les lois de probabilité associées, ainsi que les applications et interprétations mathématiques. Cette fiche s'adresse à un niveau intermédiaire, avec des définitions techniques, illustrations par des exemples concrets, et une connexion claire entre les notions.

1. La désintégration radioactive — rappel et approfondissement

Désintégration radioactive : Processus par lequel un noyau atomique instable se transforme spontanément en un noyau plus stable, en émettant des particules (alpha, bêta, gamma) et de l’énergie.

Chaque noyau radioactif a une probabilité de se désintégrer par unité de temps, caractérisée par une constante appelée constante de désintégration.

1.1 Constante de désintégration [Formule]

• [Formule] est une grandeur intrinsèque à chaque isotope radioactif.
• Elle représente la probabilité qu’un noyau se désintègre pendant une unité de temps.

La variation du nombre de noyaux radioactifs [Formule] suit alors l’équation différentielle :

[Formule mathématique]

1.2 Loi de décroissance radioactive

La solution à cette équation s’écrit :

[Formule mathématique]

• [Formule] est le nombre initial de noyaux à [Formule].
• [Formule] est le nombre de noyaux restants à l’instant [Formule].

Cette loi exprime le caractère exponentiel de la décroissance radioactive.

Exemple concret :

Si dans un échantillon, on commence avec 1000 noyaux radioactifs et [Formule], alors après 1000 s, le nombre restant est :

[Formule mathématique]

2. La demi-vie, un concept clé

2.1 Définition

Demi-vie ou période radioactive : Durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs présents se soit désintégrée.

On la note [Formule].

2.2 Relation entre demi-vie et constante de désintégration

La demi-vie est liée à la constante [Formule] par la formule :

[Formule mathématique]

2.3 Application numérique

Reprenons l’exemple précédent, avec [Formule].

[Formule mathématique]

Après 693 s, la moitié des noyaux initiaux aura disparu.

3. Activité radioactive

3.1 Définition

Activité radioactive ([Formule]) : nombre de désintégrations par unité de temps dans un échantillon radioactif.

Elle se mesure en becquerels (Bq).

3.2 Relation entre activité et nombre de noyaux

L’activité est proportionnelle au nombre de noyaux restants :

[Formule mathématique]

• À [Formule], [Formule].

4. Interprétation probabiliste : loi exponentielle

4.1 Variable aléatoire [Formule] — temps de vie d’un noyau

Le temps de désintégration d’un noyau est une variable aléatoire, modélisée par la loi exponentielle de paramètre [Formule].

La fonction densité de probabilité de [Formule] est :

[Formule mathématique]

4.2 Propriété sans mémoire

Un noyau « ne se souvient pas » depuis combien de temps il existe : la probabilité qu’il survive encore [Formule] secondes sachant qu’il a déjà vécu [Formule] secondes est identique à la probabilité qu’il survive [Formule] secondes à partir de zéro.

Mathématiquement :

[Formule mathématique]

4.3 Espérance mathématique du temps de vie

L’espérance de [Formule] (durée moyenne avant désintégration) est :

[Formule mathématique]

Liens avec la demi-vie :

• [Formule] est plus grande que [Formule] puisque la loi exponentielle est asymétrique.

5. Chaînes de désintégration

Certains noyaux radioactifs se transforment en d’autres isotopes radioactifs, engendrant ce qu’on appelle une chaîne radioactive.

Par exemple :

• L'[Formule] désintègre en [Formule], puis en [Formule], etc., jusqu’à un isotope stable.

5.1 Modélisation des chaînes radioactives

On peut représenter les transformations par un diagramme de flux.

[Diagramme]

Chaque flèche correspond à une désintégration radioactive, avec une constante propre [Formule].

5.2 Équations différentielles couplées

Pour chaque isotope [Formule] de la chaîne, le nombre de noyaux [Formule] vérifie une équation du type :

[Formule mathématique]

pour [Formule], avec [Formule] désignant l’isotope initial.

6. Applications pratiques de la radioactivité

• Datation radioactive : mesure du rapport entre isotopes parent et fils pour estimer l’âge d’un échantillon (ex. : datation au carbone 14).
• Médecine nucléaire : usage d’isotopes radioactifs pour diagnostic et traitement.
• Production d’énergie : réacteurs nucléaires utilisant la fission, processus lié aux désintégrations radioactives.

Synthèse des points essentiels

Conclusion

La Partie 6 de la radioactivité met en lumière la modélisation quantitative et probabiliste du phénomène de désintégration radioactive, en liant concepts physiques et formulations mathématiques. La compréhension des paramètres clés comme la constante de désintégration, la demi-vie et la notion d’activité permet d’appréhender les applications nucléaires dans plusieurs domaines. Enfin, l’étude des chaînes radioactives apporte une vision complète des processus nucléaires complexes.

N’hésitez pas à revisiter les formules et à pratiquer avec des exercices pour maîtriser ces notions fondamentales de la radioactivité !