Fiche de Révision : Le Binaire

Introduction au système binaire

Le système binaire est un système de numération qui utilise uniquement deux symboles : 0 et 1. Il est fondamental en informatique car tous les calculs et traitements réalisés par un ordinateur reposent sur ce système.

Citation importante :
"Le système binaire est la base du langage des ordinateurs, car il permet de représenter toutes les informations par des états simples : marche/arrêt, vrai/faux, oui/non."

Pourquoi le binaire ?

• Simplicité physique : Les circuits électroniques ont deux états stables (tension haute et basse).
• Fiabilité : Moins de risques d'erreur dans la distinction entre deux états que dans un système à base plus élevée.
• Facilité de manipulation logique : Le binaire permet l’utilisation simple des opérations logiques (ET, OU, NON).

Les bases du système binaire

Représentation des nombres en base 2

Contrairement au système décimal (base 10) qui utilise 10 chiffres (0 à 9), le système binaire utilise seulement 2 chiffres : 0 et 1.

Un nombre binaire s’écrit ainsi :
[Formule mathématique]
où chaque [Formule] est un bit (binary digit), soit 0 soit 1.

Conversion binaire → décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on utilise la formule suivante :

[Formule mathématique]

où [Formule] est le bit à la position [Formule] (en partant de la droite, [Formule]).

Exemple :
Le nombre binaire [Formule] se convertit en décimal comme suit :
[Formule mathématique]

Conversion décimal → binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on divise successivement par 2 en notant les restes.

Exemple :
Convertir 13 en binaire :

• [Formule], reste 1
• [Formule], reste 0
• [Formule], reste 1
• [Formule], reste 1

On lit les restes de bas en haut : [Formule].

Représentation informatique

Le bit et l'octet

• Bit : plus petite unité d’information, peut valoir 0 ou 1.
• Octet : groupe de 8 bits, unité courante pour mesurer la mémoire.

Codage des nombres

• Entiers non signés : représentent des nombres positifs ou nuls. Leur valeur est calculée directement par la somme pondérée des bits.
• Entiers signés : pour coder des nombres positifs et négatifs, on utilise notamment la méthode du complément à deux.

Le complément à deux

Le complément à deux est la méthode la plus utilisée pour représenter les nombres entiers signés en binaire.

Principe

• Le bit de poids fort (à gauche) est le bit de signe : 0 pour positif, 1 pour négatif.
• Pour obtenir le complément à deux d’un nombre, on effectue :
  • L’inversion de tous les bits (complément à un)
  • Puis on ajoute 1 au résultat.

Exemple

Représenter [Formule] en 8 bits :

1. [Formule]
2. Complément à un : [Formule]
3. Ajouter 1 : [Formule]

Donc [Formule] s’écrit [Formule] en complément à deux sur 8 bits.

Avantages

• Permet une addition et une soustraction simples, sans différencier les signes.
• L’ordinateur peut utiliser les mêmes circuits pour additionner nombres positifs et négatifs.

Opérations en binaire

Addition binaire

La somme de deux bits suit les règles :

Exemple : [Formule]

  1 0 1 1
+ 1 1 0 1
----------
1 1 0 0 0

La retenue est prise en compte à chaque étape.

Soustraction binaire

On utilise souvent le complément à deux pour effectuer la soustraction comme une addition.

Multiplication binaire

Similaire à la multiplication décimale, mais en base 2 : on multiplie par 0 ou 1, puis on décale.

Représentation des données autres que numériques

• Caractères : codés en binaire via des standards comme ASCII ou Unicode.
• Images, sons, vidéos : convertis en suites de bits via des formats spécifiques.

Diagramme Mermaid : Processus de conversion décimal vers binaire

[Diagramme]

Applications du binaire

• Informatique : stockage et traitement des données.
• Télécommunications : codage des signaux.
• Logique numérique : circuits électroniques, microprocesseurs.

Résumé des points clés

• Le binaire utilise deux chiffres : 0 et 1.
• Chaque bit représente une puissance de 2.
• Conversion décimal-binaire et binaire-décimal reposent sur divisions et puissances de 2.
• Le complément à deux est la méthode standard pour coder les entiers signés.
• L’addition et la soustraction en binaire sont fondamentales pour le fonctionnement des ordinateurs.
• Le binaire est la base de tout traitement informatique.

Annexes

Table de correspondance binaire - décimal pour 4 bits

Fin de la fiche de révision sur "Le binaire".