Fiche de Révision : Les Primitives

Introduction

En analyse mathématique, la primitive d'une fonction joue un rôle fondamental, notamment dans le calcul intégral et la résolution d'équations différentielles. Comprendre les primitives permet de maîtriser la notion d'intégrale, de passer de la dérivée à la fonction initiale, et d'appliquer ces concepts dans divers domaines, comme la physique ou l'économie.

1. Définition d'une Primitive

Soit une fonction [Formule] définie sur un intervalle [Formule]. On appelle primitive de [Formule] toute fonction [Formule] définie sur [Formule] telle que :

[Formule mathématique]

Autrement dit, la primitive est une fonction dont la dérivée est égale à la fonction donnée.

Exemple

Si [Formule], une primitive de [Formule] est :

[Formule mathématique]

car [Formule], où [Formule] est une constante réelle arbitraire.

2. Propriétés des Primitives

2.1. Existence et Unicité

• Toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle.
• Deux primitives [Formule] et [Formule] d'une même fonction [Formule] ne diffèrent que par une constante :

[Formule mathématique]

2.2. Linéarité de l'Opérateur Primitive

Pour deux fonctions [Formule] et [Formule] admettant des primitives, et pour tous scalaires [Formule] :

[Formule mathématique]

Ainsi,

[Formule mathématique]

où [Formule] désigne l'ensemble des primitives de [Formule].

3. Méthodes pour Trouver une Primitive

3.1. Par Lecture Directe (Fonctions usuelles)

Certaines fonctions ont des primitives classiques bien connues :

3.2. Par Changement de Variable (Substitution)

Si [Formule] est de la forme [Formule], alors :

[Formule mathématique]

avec [Formule].

Exemple

Calculer une primitive de [Formule].

• Posons [Formule].
• Alors,

[Formule mathématique]

3.3. Par Intégration par Parties

Cette méthode est utile lorsque [Formule] est le produit de deux fonctions :

[Formule mathématique]

Exemple

Calculer une primitive de [Formule].

• Posons [Formule], [Formule].
• Alors [Formule], [Formule].
• Ainsi,

[Formule mathématique]

4. Relation entre Primitive et Intégrale Définie

Le lien fondamental entre primitive et intégrale est donné par le théorème fondamental de l'analyse.

Théorème Fondamental de l'Analyse

Si [Formule] est continue sur [Formule] et [Formule] est une primitive de [Formule] sur cet intervalle, alors :

[Formule mathématique]

5. Application des Primitives

5.1. Calcul de l'Aire sous une Courbe

La primitive permet de calculer l'aire sous la courbe de [Formule] entre [Formule] et [Formule] via l’intégrale définie.

5.2. Résolution d'Équations Différentielles simples

Les primitives permettent de résoudre des équations différentielles du type :

[Formule mathématique]

car leur solution générale est :

[Formule mathématique]

6. Primitives de Fonctions Composées et Primitives Paramétriques

6.1. Primitives de Fonctions Composées

Si [Formule], la primitive est donnée par :

[Formule mathématique]

où [Formule] est une primitive de [Formule].

6.2. Primitives en Paramétrant

Pour des fonctions définies paramétriquement, on peut chercher une primitive en exprimant la variable paramétrique.

7. Exercices Pratiques

Exercice 1

Trouver une primitive de [Formule].

Solution :

On reconnaît la dérivée de [Formule] :

[Formule mathématique]

Exercice 2

Calculer une primitive de [Formule].

Solution :

Posons [Formule], avec [Formule], donc [Formule],

[Formule mathématique]

8. Synthèse des Méthodes pour Trouver une Primitive

[Diagramme]

9. Résumé des Formules Importantes

Conclusion

La notion de primitive est centrale en mathématiques et en sciences. Elle permet non seulement de revenir à la fonction initiale à partir de sa dérivée, mais aussi de calculer des intégrales définies et de résoudre des équations différentielles. La maîtrise des méthodes pour trouver les primitives, telles que les substitutions ou l'intégration par parties, est essentielle pour aborder des problèmes plus complexes en analyse.

Citation importante :
"Intégrer, c'est retrouver la fonction initiale à partir de sa dérivée."

Fin de la fiche de révision sur les primitives.