Fiche de Révision : Méthodes de Conversion Décimale ↔ Hexadécimale

Introduction

La conversion entre les systèmes décimal et hexadécimal est une compétence fondamentale en informatique et en électronique. Le système décimal (base 10) est le système numérique que nous utilisons couramment, tandis que le système hexadécimal (base 16) est très utilisé en programmation, architecture des ordinateurs, et pour représenter des valeurs binaires de manière compacte.

1. Rappels sur les Bases Numériques

Décimal (Base 10) : Utilise 10 symboles (0 à 9).
Hexadécimal (Base 16) : Utilise 16 symboles : 0-9 et A-F, où A=10, B=11, ..., F=15.

Exemple

Le nombre décimal 255 s’écrit en hexadécimal :
[Formule mathématique]

2. Conversion Décimale → Hexadécimale

2.1 Méthode de la division successive

Cette méthode consiste à diviser le nombre décimal par 16 de manière répétée, en enregistrant les restes.

Étapes :

Diviser le nombre décimal par 16.
Noter le reste (qui sera un chiffre hexadécimal).
Diviser le quotient obtenu à l’étape 1 par 16 à nouveau.
Répéter jusqu’à ce que le quotient soit 0.
La valeur hexadécimale est la concaténation des restes, lus de bas en haut (du dernier au premier).

Exemple concret : Convertir 756 en hexadécimal

Division	Quotient	Reste	Chiffre Hexadécimal
756 ÷ 16	47	4	4
47 ÷ 16	2	15	F
2 ÷ 16	0	2	2

Lecture du reste de bas en haut : 2F4
Donc :
[Formule mathématique]

2.2 Méthode par soustraction pondérée (optionnelle)

On soustrait les puissances de 16 les plus grandes possibles.

Exemple : Convertir 756 en hexadécimal

( 16^2 = 256 ), ( 16^1 = 16 ), ( 16^0 = 1 )
Trouver combien de fois 256 rentre dans 756 : ( 756 \div 256 = 2 ) (reste 244)
Trouver combien de fois 16 rentre dans 244 : ( 244 \div 16 = 15 ) (reste 4)
Reste 4 correspond à ( 4 \times 1 )

On obtient donc ( 2 \times 16^2 + 15 \times 16^1 + 4 \times 16^0 ) soit 2F4.

3. Conversion Hexadécimale → Décimale

3.1 Méthode de la somme pondérée

Chaque chiffre hexadécimal est multiplié par la puissance de 16 correspondante selon sa position, puis on somme le tout.

Formule générale

Pour un nombre hexadécimal à n chiffres [Formule] :

[Formule mathématique]

où [Formule] est le chiffre des unités, [Formule] des 16, etc.

Exemple : Convertir ( 2F4_{16} ) en décimal

( h_0 = 4 = 4 )
( h_1 = F = 15 )
( h_2 = 2 = 2 )

Calcul :
[Formule mathématique]

3.2 Méthode itérative (pour le calcul manuel ou algorithmique)

Initialiser un accumulateur à 0.
Pour chaque chiffre hexadécimal de gauche à droite :
- Multiplier l’accumulateur par 16.
- Ajouter la valeur décimale du chiffre hexadécimal.
À la fin, l’accumulateur contient la valeur décimale.

4. Table de correspondance des chiffres hexadécimaux

Hex	Décimal	Hex	Décimal
0	0	8	8
1	1	9	9
2	2	A	10
3	3	B	11
4	4	C	12
5	5	D	13
6	6	E	14
7	7	F	15

5. Diagrammes des processus de conversion

5.1 Conversion Décimale → Hexadécimale (Division successive)

[Diagramme]

5.2 Conversion Hexadécimale → Décimale (Somme pondérée)

[Diagramme]

6. Astuces et conseils

Pour la conversion décimale → hexadécimale, la méthode la plus simple reste la division successive.
Pour la conversion hexadécimale → décimale, la méthode de la somme pondérée est directe et facile à programmer.
La conversion hexadécimale est toujours plus compacte qu’en binaire, 1 chiffre hexadécimal = 4 bits.
En programmation, utiliser les outils intégrés (ex : hex() en Python, printf en C) pour éviter les erreurs.
Apprendre par cœur la table des valeurs hexadécimales facilite la conversion rapide.

7. Exercices pratiques

Exercice 1 : Convertir 1234 (décimal) en hexadécimal

Solution rapide :

1234 ÷ 16 = 77 reste 2
77 ÷ 16 = 4 reste 13 (D)
4 ÷ 16 = 0 reste 4

Résultat : ( 4D2_{16} )

Exercice 2 : Convertir ( 1A3F_{16} ) en décimal