Fiche de Révision : Théorème de Pythagore et sa Réciproque

I. Théorème de Pythagore

Énoncé du théorème

Si [Formule] est un triangle rectangle en [Formule], alors la relation suivante est vérifiée :

[Formule mathématique]

Autrement dit, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Utilité

Ce théorème sert à calculer la longueur manquante dans un triangle rectangle, que ce soit l’hypoténuse ou un des deux autres côtés.

Méthode d’application

Pour calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle [Formule] rectangle en [Formule] :

1. Présenter le triangle : Indiquer que le triangle est rectangle en [Formule].

2. Écrire l’égalité du théorème de Pythagore : [Formule mathématique]

3. Calculer la longueur recherchée :

   • Si on cherche l’hypoténuse [Formule], il suffit de calculer : [Formule mathématique]
   • Si on cherche un des deux autres côtés, par exemple [Formule], on réarrange la formule : [Formule mathématique]

4. Calculer la racine carrée à la calculatrice.

5. Conclure par une phrase qui précise la longueur trouvée.

Exemple d’application

Question : Calculer la longueur [Formule] dans le triangle rectangle donné.

• On identifie le triangle rectangle en [Formule].
• On applique le théorème : [Formule mathématique]
• On calcule la somme des carrés des côtés connus.
• On calcule [Formule].
• On conclut sur la longueur [Formule].

II. Réciproque du Théorème de Pythagore

Énoncé de la réciproque

Si dans un triangle [Formule], on a :

[Formule mathématique]

alors le triangle [Formule] est un triangle rectangle en [Formule].

Utilité

La réciproque du théorème de Pythagore permet de prouver qu'un triangle est rectangle en vérifiant la relation entre les carrés des longueurs de ses côtés.

Méthode d’application

Pour prouver qu’un triangle [Formule] est rectangle :

1. Identifier le plus grand côté du triangle. C’est le candidat à être l’hypoténuse.

2. Calculer le carré du plus grand côté.

3. Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.

4. Comparer les résultats :

   • Si [Formule], alors le triangle est rectangle en [Formule].
   • Sinon, le triangle n’est pas rectangle.

Exemples d’application

Exemple 1 : Triangle [Formule]

• Calcul du carré du plus grand côté [Formule] : [Formule mathématique]

• Calcul de la somme des carrés des deux autres côtés [Formule] et [Formule] : [Formule mathématique]

• Comme [Formule], le triangle [Formule] est rectangle.

Exemple 2 : Triangle [Formule]

• Carré du plus grand côté [Formule] : [Formule mathématique]

• Somme des carrés des deux autres côtés [Formule] et [Formule] : [Formule mathématique]

• Comme [Formule], le triangle [Formule] n’est pas rectangle.

Résumé visuel

[Diagramme]

Conclusion

• Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle.
• La réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle.
• La clé est de bien identifier l’hypoténuse (le plus grand côté) et de vérifier la relation entre les carrés des longueurs.

Cette fiche vous permettra d’aborder sereinement les exercices relatifs au théorème de Pythagore et à sa réciproque.