Fiche de Révision : Limites et Continuité - Prolongement par Continuité

Introduction

En analyse, le prolongement par continuité est une méthode essentielle pour définir une fonction en un point où elle n'est pas initialement définie, en utilisant la limite de la fonction en ce point. Cette notion est fondamentale pour comprendre la continuité des fonctions et leur comportement local.

1. Définition : Prolongement par Continuité

Prolongement par continuité : Soit une fonction ( g ) définie sur un ensemble privé d'un point ( a ). Si la limite (\lim_{x \to a} g(x) = L) existe et est finie, alors on peut définir une nouvelle fonction (\phi) sur l'ensemble initial augmenté du point ( a ) par : [ \phi(x) = [Contenu mathématique] ] Cette fonction (\phi) est dite prolongement par continuité de ( g ) en ( a ).

2. Exemple d'application

Énoncé

Soit la fonction : [ f(x) = \pi \cdot \sqrt{3x^2 + 1 - 2} ]

On souhaite :

• Calculer la limite de ( g ) en ( \pi ) (on suppose que ( g ) est liée à ( f ), par exemple ( g(x) = f(x) ) ou une fonction dérivée de ( f ))
• En déduire une fonction (\phi) prolongée par continuité de ( g ) en ( \pi ).

Étape 1 : Simplification de la fonction ( f )

Commençons par simplifier l'expression sous la racine :

[ 3x^2 + 1 - 2 = 3x^2 - 1 ]

Donc :

[ f(x) = \pi \cdot \sqrt{3x^2 - 1} ]

Étape 2 : Définir la fonction ( g )

Supposons que ( g(x) = f(x) ) pour tout ( x \neq \pi ), mais que ( g ) n'est pas définie en ( x = \pi ).

Étape 3 : Calcul de la limite de ( g ) en ( \pi )

Calculons :

[ \lim_{x \to \pi} g(x) = \lim_{x \to \pi} \pi \cdot \sqrt{3x^2 - 1} ]

Calculons d'abord la limite intérieure :

[ \lim_{x \to \pi} 3x^2 - 1 = 3\pi^2 - 1 ]

Puis :

[ \lim_{x \to \pi} f(x) = \pi \cdot \sqrt{3\pi^2 - 1} ]

Cette limite est bien définie et finie.

Étape 4 : Définition de la fonction (\phi) prolongée par continuité

On définit :

[ \phi(x) = [Contenu mathématique] ]

Ainsi, (\phi) est continue en ( x = \pi ).

3. Résumé sous forme de tableau

4. Visualisation du processus de prolongement par continuité

[Diagramme]

5. Remarques importantes

• Le prolongement par continuité permet de "combler" un point où la fonction n'était pas définie, en assurant la continuité.
• Cette méthode est souvent utilisée pour traiter des fonctions définies par morceaux ou avec des expressions indéfinies en certains points.
• La condition essentielle est que la limite en ce point existe et soit finie.

6. Exemple concret supplémentaire

Considérons la fonction :

[ h(x) = \frac{\sin x}{x} ]

• ( h ) n'est pas définie en ( x = 0 ).
• Calculons la limite en 0 :

[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]

• On peut définir :

[ \phi(x) = [Contenu mathématique] ]

• (\phi) est alors continue en 0, c'est le prolongement par continuité de ( h ).

Conclusion

Le prolongement par continuité est une technique clé en analyse pour étendre la définition d'une fonction en un point où elle n'était pas définie, en utilisant la limite en ce point. Cette méthode garantit la continuité et facilite l'étude locale des fonctions.

Annexes : Définitions clés

Limite d'une fonction en un point : La valeur que la fonction approche lorsque la variable indépendante se rapproche du point considéré.

Continuité en un point : Une fonction ( f ) est continue en ( a ) si (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)).

N'hésitez pas à me demander des précisions ou des exercices pour approfondir ce sujet !