binaire
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Fiche de Révision : Le Système Binaire
Introduction au Système Binaire
Le système binaire est un système de numération qui utilise uniquement deux symboles : 0 et 1. C'est la base du fonctionnement des ordinateurs et des systèmes numériques.
« Le binaire est le langage fondamental de l'informatique. »
Pourquoi le binaire ?
- Les ordinateurs utilisent des circuits électroniques qui ont deux états possibles : ON (1) et OFF (0).
- Le binaire simplifie la conception des circuits et la manipulation des données.
1. Comprendre le Système Binaire
1.1. Base du système binaire
- Le binaire est un système de numération en base 2.
- Chaque chiffre binaire est appelé un bit (contraction de binary digit).
1.2. Position et valeur des bits
Chaque bit dans un nombre binaire a une valeur qui dépend de sa position, de droite à gauche, en puissances de 2.
Par exemple, dans le nombre binaire [Formule] :
| Position (de droite à gauche) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Bit | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Valeur | [Formule] | [Formule] | [Formule] | [Formule] |
Calcul de la valeur décimale :
[Formule mathématique]
2. Conversion entre Binaire et Décimal
2.1. Binaire vers Décimal
Pour convertir un nombre binaire en décimal, on additionne les puissances de 2 correspondant aux bits à 1.
Exemple :
Convertir [Formule] en décimal.
[Formule mathématique]
2.2. Décimal vers Binaire
Pour convertir un nombre décimal en binaire, on divise le nombre par 2 successivement et on note les restes.
Exemple :
Convertir 13 en binaire :
| Division | Quotient | Reste |
|---|---|---|
| 13 ÷ 2 | 6 | 1 |
| 6 ÷ 2 | 3 | 0 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
On lit les restes de bas en haut : [Formule]
3. Opérations en Binaire
3.1. Addition
Les règles sont simples :
| Bit 1 | Bit 2 | Résultat | Retenue (carry) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Exemple :
Additionner [Formule] :
| 1 (retenue) | 1 | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| + | 1 | 1 | 0 | 1 |
| ------------- | --- | --- | --- | --- |
| Résultat | 1 | 1 | 0 | 0 |
Résultat : [Formule] (en décimal : 24)
3.2. Soustraction
On soustrait bit à bit en empruntant si nécessaire.
3.3. Multiplication
La multiplication binaire est similaire à la multiplication décimale, mais on multiplie uniquement par 0 ou 1.
4. Applications du Binaire
- Informatique : stockage, calculs, programmation.
- Télécommunications : codage et transmission de données.
- Électronique numérique : circuits logiques et microprocesseurs.
5. Représentation des Données en Binaire
5.1. Bits et octets
- 1 bit = 1 chiffre binaire (0 ou 1)
- 1 octet = 8 bits
5.2. Codage des nombres négatifs : complément à deux
Pour représenter les nombres négatifs, on utilise souvent la méthode du complément à deux :
- Inverser tous les bits
- Ajouter 1 au résultat
Exemple : Représenter [Formule] sur 4 bits.
- 3 en binaire : [Formule]
- Inversion : [Formule]
- Ajouter 1 : [Formule]
Donc, [Formule] est représenté par [Formule] en complément à deux.
6. Diagramme : Relations entre Concepts du Binaire
[Diagramme]
7. Résumé
- Le système binaire utilise deux chiffres : 0 et 1.
- Chaque bit représente une puissance de 2 selon sa position.
- Conversion facile entre binaire et décimal via puissances de 2 ou divisions successives.
- Opérations binaires suivent des règles simples, similaires au système décimal.
- Utilisé partout en informatique et électronique.
- Le complément à deux permet de coder les nombres négatifs.
Exercices conseillés
- Convertir les nombres décimaux suivants en binaire : 7, 18, 45.
- Convertir les nombres binaires suivants en décimal : 1010, 11111, 100100.
- Effectuer l'addition binaire : [Formule].
- Représenter [Formule] en binaire sur 8 bits en complément à deux.
Cette fiche vous permet de comprendre et manipuler le système binaire, fondement de l'informatique et de nombreux systèmes numériques.
